Взаимное расположение точек и окружности

Взаимное расположение точек и окружности

Взаимное расположение прямой и окружности Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух концах диаметра, лежащего на. этой примой.

Пусть прямая р не проходит через центр О окружности радиуса r. Проведем перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е, расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 1). Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая.

1) d ОН= r (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно , точка М не лежит на окружности. Итак, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

3) d>r В этом случае -ОН> r поэтому .для любой точки М прямой р 0МОН.> r(рис.1,а) Следовательно точка М не лежит на окружности. Итак, .если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Мы доказали, что прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 2 прямая р — касательная к окружности с центром О, А точка касания.

Докажем теорему о свойстве касательной.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство. Пусть р— касательная к окружности с центром О. А — точка касания (см. рис. 2). Докажем. что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА.

Предположим, что это не так. Тогда радиус: ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояния от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию; прямая р — касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказала.

Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С (рис. 3). Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных, проведенными из точки А. Они обладают следующим свойством, вытекающим из доказанной теоремы:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Для доказательства этого утверждения обратимся к рисунку 3. По теореме о свойство касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и 3=4, что и требовалось доказать. Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве касательной (признак касательной).

Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности, Теорема доказана.

На этой теореме основано решение задач на построение касательной.

Прямая и окружность могут, очевидно, находиться только в следующих трех относительных положениях:

1) Расстояние (ОС) центра от прямой (АВ) (т. е, длина перпендикуляра ОС, опущенного из центра на прямую) больше радиуса окружности (рис. 1). Тогда точка С прямой удалена от центра больше, чем радиус, и потому лежит вне круга. Так как все остальные точки прямой удалены от О еще более, чем точка С (наклонные длиннее перпендикуляра), то они все лежат вне круга, значит, тогда прямая не имеет никаких точек, общих с окружностью.

2) Расстояние (ОС) центра от прямой меньше радиуса. В этом случае (рис.2) точка С лежит внутри круга и тогда, очевидно, прямая пересекается с окружностью.

Читайте также:  Фаерволы для windows 10 где находится

3> Расстояние (ОС) центра от прямой равно радиусу. Тогда точна С (рис. 3) принадлежит и прямой, и окружности, все же остальные точки прямой, будучи удалены от О более, чем точка С, лежат вне круга. Значит, в этом случае Прямая и окружность имеют только одну общую точку, именно ту, которая служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра на прямую.

Такая прямая, которая с окружностью имеет только одну общую точку, называется касательной к окружности; общая точка называется точкой касания.

Относительно касательной мы докажем следующие две теоремы (прямую и обратную) (рис. 4):

1) если прямая (MN) перпендикулярна к радиусу (ОА) в конце его (А), лежащем на окружности, то она касается окружности, и обратно (рис. 4);

2) если прямая касается окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.

1) Точка А, как конец радиуса, лежащий на окружности, принадлежит этой окружности; в то же время она принадлежит и прямой MN, Значит, эта точка есть общая у окружности и прямой. Все же остальные точки прямой MN, как В, С и другие, отстоят от центра О дальше, чем на радиус (так как отрезки ОВ, ОС, . как наклонные, больше перпендикуляра ОА), и потому они лежат вне окружности. Таким образом, у прямой MN есть только одна точка (А), общая с окружностью, и, значит, прямая MN есть касательная.

2) Если МN касается окружности в точке А, то все остальные точки этой прямой должны лежать вне окружности; вследствие этого отрезки ОВ, ОС, . больше радиуса ОА (точка О есть центр окружности). Значит, этот радиус есть наименьший из отрезков, соединяющих точку О с любой точкой прямой MN, и потому ОА | MN.

Теорема. Если касательная параллельна хорде, то точка касания делит дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Пусть прямая АВ касается окружности в точке М (рис. 5) и параллельна хорде CD; требуется доказать, что .

Проведя через точку касания диаметр МЕ, будем иметь: ; поэтому

Зависимость между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра.

Теоремы. В одном круге или в равных кругах:

1) если дуги, равны, то стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра;

2) если две дуги, меньшие полуокружности, не равны, то большая из них стягивается большей хордой и из обеих хорд большая расположена ближе к центру.

1) Пусть дуга АВ равна дуге CD (рис. 1), требуется доказать, что хорды АВ и CD равны, а также равны и перпендикуляры ОЕ и OF, опущенные из центра на хорды.

Повернем сектор OAJB вокруг центра О в направлении, указанном стрелкой на столько, чтобы радиус ОБ совпал с ОС. Тогда дуга ВА. пойдет по дуге CD и вследствие их равенства эти дуги совместятся. Значит, хорда AS совместится с хордой CD и перпендикуляр ОЕ совпадет с OF (из одной точки можно опустить на прямую только один перпендикуляр), т. е. AB=CD и OE=OF.

2) Пусть дуга АВ (рис. 2) меньше дуги CD, и притом обе дуги меньше полуокружности; требуется доказать, что хорда АВ меньше хорды CD, а перпендикуляр ОЕ больше перпендикуляра OF. Отложим на дуге CD дугу СК, равную АВ, и проведем вспомогательную хорду СК, которая, по доказанному, равна хорде АВ и одинаково с ней удалена от центра. У треугольников COD и СОК две стороны одного равны двум сторонам другого (как радиусы), а углы, заключенные между этими сторонами, не равны; в этом случае, как мы знаем, против большего из углов, т. е. lCOD, должна лежать большая сторона, значит, CD>CK, и потому CD>AB.

Для доказательства того, что OE>OF, проведем OLXCK и примем во внимание, что, по доказанному, OE=OL; следовательно, нам достаточно сравнить OF с OL. В прямоугольном треугольнике FM (покрытом на рисунке штрихами) гипотенуза ОМ больше катета OF; но OL>OM; значит, и подавно OL>OF. и потому OE>OF.

Теорема, доказанная нами для одного круга, остается верной и для равных кругов, потому что такие круги один от другого отличаются только положением.

Читайте также:  Как сделать обои на телефон из фото

Обратные теоремы. Так как в предыдущем параграфе рассмотрены всевозможные взаимно исключающие случаи относительно сравнительной величины двух дуг одного радиуса, причем получились взаимно исключающие выводы относительно сравнительной величины хорд и расстояний их от центра, то обратные предложения должны быть верны, в. именно:

В одном круге или е равных кругах:

1) равные хорды одинакова удалены от центра и стягивают равные дуги;

2) хорды, одинаково удаленные от центра, равны и стягивают равные дуги;

3) из двух неравных хорд большая ближе к центру и стягивает большую дугу;

4) из двух хорд, неодинаково удаленных от центра, которая ближе к центру, больше и стягивает большую дугу.

Эти предложения легко доказываются от противного. Например, для доказательства первого из них рассуждаем так: если бы данные хорды стягивали неравные дуги, то, согласно прямой теореме, они были бы не равны, что противоречит условию; значит, равные хорды должны стягивать равные дуги; а если дуги равны, то, согласно прямой теореме, стягивающие их хорды одинаково удалены от центра.

Теорема. Диаметр есть наибольшая из хорд.

Если соединим с центром О концы какой-нибудь хорды, не проходящей через центр, например хорды АВ (рис. 3) то получим треугольник АОВ, в котором одна сторона есть эта хорда, а две другие — радиусы, Но в треугольнике каждая сторона менее суммы двух других сторон; следовательно, хорда АВ менее суммы двух радиусов; тогда как всякий диаметр CD равен сумме двух радиусов. Значит, диаметр больше всякой хорды, не проходящей через центр. Но так как диаметр есть тоже хорда, то можно сказать, что диаметр есть наибольшая из хорд.

Как уже было сказано, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеют одинаковую длину. Эту длину называют касательным расстоянием от точки до окружности.

Без теоремы о касательных не обходиться решение не одной задачи о вписанных окружностях, иными словами, об окружностях, касающихся сторон многоугольника.

Касательные расстояния в треугольнике.

Найдем длины отрезков, на которые стороны треугольника АВС разбиваются точками касания с вписанной в него окружностью (рис. 1,а), например касательное расстояние от точки А до окружности. Сложим стороны b и c, а затем из суммы вычтем сторону а. Учитывая равенство касательных, проведенных из одной вершины, получим 2. Итак,

где p=(a+b+c)/2 – полупериметр данного треугольника. Длина отрезков сторон, прилегающим к вершинам В и С, равны соответственно p-b и p-c.

Аналогично, для вневписанной окружности треугольника, касающейся (снаружи) стороны а (рис. 1,б), касательные расстояния от В и С равны соответственно p-c и p-b, а от вершины А — просто p.

Заметим, что эти формулы можно использовать и «в обратную сторону».

Пусть в угол ВАС вписана окружность, причем касательное расстояние от вершины угла до окружности равно p или p-a, где p – полупериметр треугольника АВС, а а=ВС. Тогда окружность касается прямой ВС (соответственно снаружи или внутри треугольника).

В самом деле, пусть, например, касательное расстояние равно p-a. Тогда наши окружности касаются сторон угла в тех же самых точках, что и вписанная окружность треугольника АВС, а значит, совпадает с ней. Следовательно, она касается прямой ВС.

Описанный четырехугольник. Из теоремы о равенстве касательных сразу получается (рис. 2,а), что

если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

Отметим, что описанный четырехугольник обязательно выпуклый. Верно и обратное:

Если четырехугольник выпуклый и суммы его противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Докажем это для четырехугольника, отличного от параллелограмма. Пусть какие-то две противоположные стороны четырехугольника, например AB и DC, при продолжении пересекутся в точке Е (рис. 2,б). Впишем окружность в треугольник ADE. Ее касательное расстояние te до точки E выражается формулой

Но по условию суммы противоположных сторон четырехугольника равны, а значит, AD+BC=AB+CD, или AD=AB+CD-BC. Подставив это значение в выражение для te, получим

а это – полупериметр треугольника BCE. Из доказанного выше условия касания следует, что наша окружность касается BC.

Две касательные, проведённые к окружности из точки вне её, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром, что следует из равенства прямоугольных треугольников АОВ и АОВ1

Читайте также:  Как открыть аккаунт в инсте

Пусть даны окружность и точка не совпадающая с ее центром С (рис. 205). Возможны три случая: точка лежит внутри окружности (рис. 205, а), на окружности (рис. 205, б), вне окружности (рис. 205, в). Проведем прямую она пересечет окружность в точках К и L (в случае б) точка совпадет с из которых одна будет ближайшей к точке сравнению со всеми другими точками окружности), а другая — наиболее удаленной.

Так, например, на рис. 205, а точка К окружности — ближайшая к . В самом деле, для любой другой точки окружности ломаная длиннее отрезка САГ: но и потому Напротив, для точки L найдем (снова ломаная длиннее отрезка прямой). Разбор остальных двух случаев предоставляем читателю. Заметим, что наибольшее расстояние равно наименьшее если или если .

Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей (рис. 206).

а) Центры окружностей совпадают (рис. 206, а). Такие окружности называются концентрическими. Если радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой. В случае равенства радиусов они совпадают.

б) Пусть теперь центры окружностей различны. Соединим их прямой, она называется линией центров данной пары окружностей. Взаимное расположение окружностей будет зависеть только от соотношения между величиной отрезка d, соединяющего их центры, и величинами радиусов окружностей R, г. Все возможные существенно различные случаи представлены на рис. 206 (считаем ).

1. Расстояние между центрами меньше разности радиусов:

(рис. 206, б), малая окружность лежит внутри большой. Сюда же можно отнести и случай а) совпадения центров (d = 0).

2. Расстояние между центрами равно разности радиусов:

(рис. 206, s). Малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на линии центров (говорят, что имеет место внутреннее касание).

3. Расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы:

(рис. 206, г). Каждая из окружностей лежит частично внутри, частично вне другой.

Окружности имеют две точки пересечения К и L, расположенные симметрично относительно линии центров . Отрезок — общая хорда двух пересекающихся окружностей. Он перпендикулярен к линии центров.

4. Расстояние между центрами равно сумме радиусов:

(рис. 206, д). Каждая из окружностей лежит вне другой, но они имеют общую точку на линии центров (внешнее касание).

5. Расстояние между центрами больше суммы радиусов: (рис. 206, е). Каждая из окружностей целиком лежит вне другой. Окружности не имеют общих точек.

Приведенная классификация полностью вытекает из разобранного. выше вопроса о наибольшем и наименьшем расстоянии от точки до окружности. Следует лишь рассмотреть на одной из окружностей две точки: самую близкую и самую далекую от центра второй окружности. Например, разберем случай По условию . Но наиболее отдаленная от О точка малой окружности находится от центра О на расстоянии Поэтому вся малая окружность лежит внутри большой. Так же рассматриваются и остальные случаи.

В частности, если радиусы окружностей равны, то возможны только три последних случая: пересечение, внешнее касание, внешнее расположение.

если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности ( d ), то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется по отношению к окружности.

2. d = r . Так как OH = r , то точка H лежит на окружности и, следовательно, является общей точкой прямой a и окружности (рис. 135). Для любой другой точки M прямой a наклонная OM больше перпендикуляра OH , т. е. OM > OH = r , и поэтому точка M не лежит на данной окружности.

если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ( d = r ), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

В этом случае прямая называется по отношению к окружности, а их общая точка называется .

3. d > r . Так как OH > r, то для любой точки M прямой a справедливо неравенство OM ⩾ OH > r (рис. 136). Следовательно, точка M не лежит на окружности. Итак,

если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности ( d > r ), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Ссылка на основную публикацию
Вакуумный аппарат для дома
Оглавление В этом обзоре мы рассмотрим вопросы, связанные с выбором бытового вакууматора — устройства для вакуумной упаковки продуктов. Мы разберемся,...
Андроид заражен вирусом что делать
Практически вся наша современная жизнь завязана на смартфоне. Мы храним на устройстве логины, пароли, контакты, данные кредитных карт и прочую...
Анкер в стене разрез
Наиболее надежное настенное крепление – анкерное. Эти крепежные элементы применяются для фиксации навесных предметов на стены всех типов. Но как...
Варианты подключения телевизора без прокладки кабеля
Автор: Бызов Алексей, установщик приемного спутникового оборудования Неправильная разводка телевизионного кабеля в доме может не только поставить под угрозу саму...
Adblock detector