Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность

Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность

Аналогично рассматриваются оставшиеся два интеграла. В результате, вычисление поверхностного интеграл 2-го рода сводится к вычислению трех двойных интегралов:

. (4.5)

Знак "плюс" здесь выбирается в том случае, если интегрирование происходит по той стороне поверхности, которая обращена в сторону положительных направлений осей Ox, Oy и Oz. Если это не так, то нужно взять знак "минус" у соответствующего интеграла.

Замечание. Следует иметь в виду, что, поверхностные интегралы 2-го рода (в соответствии с формулой (4.4)) часто записывают в виде

, (4.6)

Пример 4.2. Вычислить поток векторного поля a=yj через верхнюю часть плоскости x+y+z=2, лежащей в первом октанте
(см. рис. 4.1).

.

Так как уравнение плоскости имеет вид y=2–x–z и нормаль к поверхности образует с осью Oy острый угол (это означает, что cosb>0 и поэтому перед интегралом нужно выбрать знак "+"), то

.

Далее, переходя к повторным интегралам, получим

.

Пример 4.3. Вычислить поток векторного поля a=zk через внешнюю сторону сферы S: x 2 +y 2 +z 2 =1.

.

Здесь z нельзя выразить однозначной функцией от x и y для всей поверхности интегрирования. Разобьем поверхность на две части, верхнюю S’ и нижнюю :

и .

.

Перейдем к двойным интегралам. Так как S’ – верхняя часть сферы, нормаль которой на всей полусфере образует с осью Oz острый угол, то

,

где D – круг x 2 +y 2 £1. – нижняя часть сферы, нормаль которой на всей полусфере образует с осью Oz тупой угол, то

,

где D – тот же круг. В результате получаем

.

Перейдя в полярную систему координат, получим

.

Пример 4.4. Вычислить поток векторного поля a=2xiyj через часть поверхности цилиндра S: x 2 +y 2 =R 2 , x³0, y³0, 0£z£H, в направлении внешней нормали (см. рис. 4.2).

.

Поскольку Syz является прямоугольником размера R´H и Sxz – точно такой же прямоугольник, то оба интеграла в последнем выражении являются одинаковыми. Поэтому можно написать

Читайте также:  Минимальные системные требования для фоллаут 4

.

5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

5.1. Теорема Остроградского

Особый интерес представляет случай, когда вычисляется поток через замкнутую поверхность. Обычно в таких случаях за положительную сторону поверхности принимают ее внешнюю поверхность. Поверхностный интеграл в этом случае обозначается следующим образом:

.

Теорема Остроградского-Гаусса. Поток векторного поля a(r) через замкнутую поверхность S, находящуюся в этом поле, в направлении ее внешней нормали, равен тройному интегралу по области V, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции этого векторного поля, т.е.

. (5.1)

(5.2)

и называется дивергенцией векторного поля a.

Пример 5.1. Вычислить поток векторного поля

Решение. Воспользовавшись формулой Остроградского-Гаусса, получим

.

Откуда, вводя сферические координаты, получим

.

Пример 5.2. Вычислить поток векторного поля

через поверхность S: .

Решение. Поскольку diva=3(x 2 +y 2 )+R 2 , то формуле Остроградского-Гаусса получаем

Перейдем к цилиндрическим координатам

5.2. Теорема Стокса

Особое значение в математике и ее приложениях играют криволинейные интегралы по замкнутой кривой (контуру). Такие интегралы называются циркуляциями и обозначаются

.

Теорема. Циркуляция дифференцируемого векторного поля aпо произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру L равна потоку вектора rota через поверхность S, ограниченную контуром L:

(5.3)

. (5.4)

и называется ротором векторного поля a. Отметим, что единичный вектор n нормали к поверхности S направлен в такую сторону, чтобы обход контура L происходил в положительном, по отношению к n, направлении.

.

.

Решение. Поскольку rota=–3x 2 y 2 k, то по теореме Стокса получаем

.

Такой же получится ответ, если непосредственно вычислить криволинейный интеграл .

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 266
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 171
  • БГТУ 602
  • БГУ 153
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 962
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 119
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 497
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 130
  • ИжГТУ 143
  • КемГППК 171
  • КемГУ 507
  • КГМТУ 269
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2909
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 107
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 367
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 330
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 636
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 454
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 212
  • НУК им. Макарова 542
  • НВ 778
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1992
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 301
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 119
  • РАНХиГС 186
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 243
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 122
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 130
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1598
  • СПбГТИ (ТУ) 292
  • СПбГТУРП 235
  • СПбГУ 577
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 193
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 113
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2423
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 324
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 306
Читайте также:  Лучшие аксессуары для iphone

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на основную публикацию
Восстановление загрузчика windows 10 после установки ubuntu
Если после установки второй ОС, попыток воспользоваться свободным местом на скрытых разделах диска или их форматирования, в случае системных сбоев,...
Вакуумный аппарат для дома
Оглавление В этом обзоре мы рассмотрим вопросы, связанные с выбором бытового вакууматора — устройства для вакуумной упаковки продуктов. Мы разберемся,...
Варианты подключения телевизора без прокладки кабеля
Автор: Бызов Алексей, установщик приемного спутникового оборудования Неправильная разводка телевизионного кабеля в доме может не только поставить под угрозу саму...
Восстановление паролей для андроид
Установка пароля – это прекрасный способ обезопасить свое устройство. Однако порой случается так, что владелец может забыть пароль. Что же...
Adblock detector