Уравнения сводящиеся к однородным

Уравнения сводящиеся к однородным

Однородные дифференциальные уравнения

Функция / (х, у) называется однородной функцией п-го измерения относительно аргументов х и у, если при любом к справедливо равенство

Например, функция / (х, у) = 2ху — 3у 2 является однородной функцией второго измерения, так как

А функция /(х,у) =- есть однородная функция нуле-

(/ос) 2 -(ку) 2 х 2 -у 2

вого измерения, так как—,

т. е.

Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным относительно х и у, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения относительно х и у.

По условию имеем / (кх, ку) = f(x, у), положим к = —, тогда У х

получим f /(1,—), т. е. однородная функция нулевого из-

мерения зависит только от отношения аргументов. Тогда дифференциальное уравнение (6.1) примет вид

Сделаем замену переменных, обозначим

тогда

После подстановки дифференциальное уравнение (6.2) примет вид

т. е. пришли к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Преобразуя (6.3), получим

Интегрируя обе части уравнения (6.4), получаем

Так как постоянная С может быть любой, можно записать уравнение (6.5) в виде Г-= In I х I + In IСI = In I Сх I.

Интегрируя уравнение (6.5), получаем и, затем делаем об- у

ратную замену и = — и получаем искомое общее решение одно- *

родного дифференциального уравнения. При наличии начальных условий можно найти и частное решение.

Пример 6.5. Найдем общее решение дифференциального уравнения

Обе части последнего равенства разделим на х, тогда получим

т. е. исходное дифференциальное уравнение является однородным.

Для его решения используем замену

После замены дифференциальное уравнение примет вид:

Интегрируем обе части последнего равенства

Делаем обратную замену и = — и получаем — — е или

у = хе Сх — это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.

Читайте также:  1 408 Код какой страны

Предположим, что заданы начальные условия Ух=2 = L Тогда находим частное решение заданного дифференциального уравнения

т. е. частное решение имеет вид:

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка

можно свести к однородному дифференциальному уравнению. Возможны два случая:

Делаем замену

где t и к постоянные.

После замены дифференциальное уравнение (6.6) принимает следующий вид:

Для того чтобы полученное дифференциальное уравнение стало однородным, необходимо выполнение следующих условий:

Из решения системы (6.9) получим неизвестные постоянные t и к, подставим их в (6.8) и получим однородное дифференциальное уравнение, метод решения которого мы рассматривали ранее.

В этом случае используем подстановку агх + Ъгу = р, с помощью которой исходное дифференциальное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

т. е. имеем первый случай. Делаем замену переменной:

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид:

Неизвестные постоянные t и к найдем из решения системы:

Умножаем второе уравнение системы на (-2) и складываем с первым: Зк — 1 = 0.

Из второго уравнения системы находим t = 27с —1 = 2/3—1 = = -1/3.

Подставляем найденные значения к и t в уравнение (6.10) и получаем

Из сделанной нами замены переменных следует, что dx = du, a dy = dv. Поэтому имеем:

Полученное дифференциальное уравнение является однородным. Для его решения сделаем еще одну замену, обозначим z = v/u. Далее получаем v = z-и.

После подстановки однородное дифференциальное уравнение принимает вид:

Полученное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и получаем:

Интегрируем обе части последнего выражения:

Делаем обратную подстановку и получаем:

Теперь надо возвратиться к переменным у их. Учитывая, что и = х + 1/3, a v = у — 1/3, получаем:

Последнее выражение и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Читайте также:  Фотографии космонавтов в космосе

Найти общее решение дифференциального уравнения, т. е. имеем второй случай.

Исходное дифференциальное уравнение представляется в виде

Делаем замену х + 2у = р, дифференцируем р по аргументу х и получаем:

^ du 1 dp 1

После подстановки исходное дифференциальное уравнение принимает вид:

т. е. получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя их, получаем:

Интегрируем обе части последнего выражения и получаем:

Для взятия интеграла делим числитель подынтегрального выражения на знаменатель, т. е.

Делаем обратную замену и получаем:

Полученное выражение и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Теория вероятностей и математическая статистика
Строительная механика для строительных специальностей
Матанализ. Дифференциальное и интегральное исчисление
economics

Решение дифференциальных уравнений:

Контакты

Содержание

[ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ]

Рассмотрим уравнения вида $$ frac = f left ( frac<_1>x+b<_1>y+c<_1>>
ight ) $$

Если $c=c<_1>=0$ , то уравнение является однородным. Если хотя бы одно из чисел $c,c<_1>$ отлично от нуля, то следует различать два случая.

Случай 1

$$ 1) qquad Delta = egin ab \ a_<1>b_ <1>end
eq 0 $$

Вводя новые переменные $xi$ и $eta$ по формулам $x=xi + h ,,, y = eta +k$ ( Здесь $xi ext < и >eta$ – новые переменные, а h и k – константы. $dy=deta ;;; dx=dxi$ , следовательно $frac=frac$ ) , приведем уравнение к виду: $$ frac = f left ( frac< axi+beta+ah+bk+c >< a_<1>xi+b_<1>eta+a_<1>h+b_<1>k+c_ <1>>
ight ) $$ Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений $$ left <eginah+bk+c=0 \ a_<1>h+b_<1>k+c_<1>=0 end
ight. $$

получаем однородное уравнение $$ frac = f left ( frac< axi+beta >< a_<1>xi+b_<1>eta >
ight ) $$ найдя его общий интеграл и заменив $xi=x-h ,,, eta=y-k$ , получаем общий интеграл уравнения.

Случай 2

$$ 2) qquad Delta = egin ab \ a_<1>b_ <1>end = 0 $$ и уравнение имеет вид $$ frac = f left ( frac< ax+by+c >< k(ax+by+c<_1>) >
ight ) $$ , где k – константа.

Читайте также:  Рабочий стол под компьютер

Пример 1. Решить уравнение $(x+y+1)dx +(2x+2y-1)dy=0$ . Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение. Система линейных алгебраических уравнений $$ left <eginx+y+1=0 \ 2x+2y-1=0 end
ight. $$ несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку $ x+y=z ,Rightarrow, y=z-x ,Rightarrow, dy=dz-dx $ . Уравнение примет вид $ (2-z)dx +(2x-1)dz =0 $

(lacktriangleright) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: [large] (если один из коэффициентов (a) или (c) равен нулю, то уравнение можно решить разложением на множители)

Способ решения: т.к. в данном уравнении ни (sin x=0) , ни (cos x=0) не являются решением, то разделим правую и левую части уравнения на (sin^2x) (или (cos^2 x) ). Тогда уравнение сведется к [large^2, x+bmathrm, x+c=0,>] которое далее решается как квадратное.

Уравнение [large

] можно решить двумя разными способами:

1 способ при помощи формул (sin x=2sin<dfrac x2>cos<dfrac x2>) , (cos x=cos^2 <dfrac x2>-sin^2 <dfrac x2>) , (c=ccdot Big(sin^2 <dfrac x2>+cos^2 <dfrac x2>Big)) уравнение сведется к уравнению (I) .

2 способ при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: [egin <|lc|cr|>hline &&&\ sin<alpha>=dfrac<2mathrm, dfrac<alpha>2><1+mathrm^2, dfrac<alpha>2> &&& cos<alpha>=dfrac<1-mathrm^2, dfrac<alpha>2><1+mathrm^2, dfrac<alpha>2>\&&&\ hline end] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно (mathrm, dfrac x2)

Ссылка на основную публикацию
Узнать историю своих предков по фамилии
История собственной семьи вызывает интерес каждого человека. Слушая семейные легенды, люди нередко увлекаются судьбой своих предков, составляют генеалогическое дерево, стараясь...
Топ лучших видеокарт для игр
Видеокарты крайне быстро улучшаются, практически каждые полгода выходит видеоадаптер, значительно превосходящий предшественника. Активный прогресс обусловлен быстрым увеличением системных требований компьютерных...
Топ приложений для запоминания слов
Топ-8 приложений, где запоминать английские слова Приложения для изучения английских слов помогают быстро и эффективно пополнять словарный запас. Без работы...
Узнать откуда пришло заказное письмо по номеру
Многим гражданам периодически приходит корреспонденция, сопровождаемая извещениями, в которых содержится скудная информация, не дающая представления об отправителе. В случае невозможности...
Adblock detector