Уравнение винтовой линии в декартовых координатах

Уравнение винтовой линии в декартовых координатах

Линии в пространстве

Винтовая линия (рис. 7.20)

Винтовая линия — линия, описываемая точкой M, которая вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг неподвижной оси (Oz) и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью v вдоль этой оси.

где a — радиус цилиндра, на котором расположена линия; — шаг винтовой линии.

Проекции винтовой линии на координатные плоскости:

на плоскость xOy:

— окружность;

на плоскость yOz:

— синусоида;

на плоскость xOz:

— синусоида.

Длина винтовой линии от точки пересечения с плоскостью xOy до произвольной точки

Параметрические уравнения винтовой линии, где за параметр принята длина дуги:

Кривизна:

Кручение:

Винтовые линии

Понятие об образовании винтовой линии, винтовой поверхности, резьбы

В машиностроении широко используются изделия, имеющие винтовые поверхности. По конструктивному назначению их можно классифицировать на три группы:

− крепежные изделия, употребляемые для разъемного неподвижного соединения деталей, приборов;

− изделия с резьбой для преобразования вращательного движения в поступательное;

− изделия специального назначения, например металлорежущий инструмент: сверла, фрезы, щетки для очистки дымоходных труб (кольцевой косой геликоид).

В основе образования резьбы лежит винтовое движение некоторой фигуры относительно прямой называемой осью винтового движения. Если движение совершает точка, то пространственную кривую, образованную точкой, называют винтовой линией или гелисой.

Цилиндрическая винтовая линия образуется путем движения точки, совершающей равномерно-поступательное движение по прямой, параллельной некоторой оси, вокруг которой прямая, в свою очередь, вращается равномерно. Представим себе прямой круговой цилиндр, закрепленный в патрон токарного станка, и резец, подведенный к боковой поверхности цилиндра (рис. 1.1). Конечную точку резца обозначим точкой А. Если цилиндр оставить неподвижным, а резец перемещать вдоль оси цилиндра, т.е. сообщить ему равномерно-поступательное движение, то конец резца – точка А, оставит на боковой поверхности цилиндра след – прямую линию. Если поступить наоборот, т.е. придать цилиндру равномерно-вращательное движение, в этом случае конец резца оставит на боковой поверхности след – окружность (рис. 1.2).

Читайте также:  Доверительный платеж билайн комбинация цифр

Если эти два движения (равномерно-поступательное и равномерно-вращательное) совершаются одновременно, то конец резца оставит на поверхности цилиндра линию, называемую цилиндрической винтовой линией (рис. 1.3).

После одного полного оборота конечная точка резца совершит по поверхности цилиндра путь от точки А до точки А1, находящейся на одной образующей с точкой А, т.е. образует часть винтовой линии, называемую витком. Длина отрезка АА1 по образующей называется ходом Рh винтовой линии.

Если представить себе, что к круговому цилиндру подведены не один, а два резца, и придать цилиндру равномерно-вращательное движение, а резцам равномерно-поступательное, то конец каждого резца, т.е. точки А и В, оставят на поверхности цилиндра две самостоятельные цилиндрические винтовые линии с одинаковым ходом (рис.1.4).

Цилиндрическую винтовую линию можно получить путем навивания прямоугольного треугольника на прямой круговой цилиндр (рис. 1.5). При этом катет АА треугольника должен быть равен длине окружности основания цилиндра pD, а катет А1А – произвольной величине Рh – ходу винтовой линии, тогда Рh гипотенуза АА1 навернутого треугольника является цилиндрической винтовой линией. Отсюда вытекает обратное: если развернуть боковую поверхность кругового цилиндра с винтовой линией, то она превращается в наклонную прямую – гипотенузу прямоугольного треугольника. Угол между гипотенузой АА1 и катетом АА (который равен pD) треугольника называют углом подъема и обозначают его Ψ. Очевидно ; где |АА1| – абсолютное значение АА1.

Цилиндрическая винтовая линия может иметь как правое, так и левое направление, что легко можно установить по фронтальной проекции видимой части вертикально расположенного цилиндра; если винтовая линия поднимается вправо (рис. 1.6, а), то она имеет правое направление, а если влево, то левое (рис. 1.6, б).

Читайте также:  Счетчики производительности windows server 2012

Цилиндрическая винтовая линия является пространственной кривой, т.е. такой, у которой все точки не лежат в одной плоскости. Такая линия называется линией двоякой кривизны. Она может быть изображена на плоскости только своими проекциями.

Ψ

D

π D

Рис. 1.5 Развёртка цилиндрической винтовой линии

б)
а)

Рис. 1.6 Цилиндрическая винтовая линия: а – правая цилиндрическая винтовая линия; б – левая цилиндрическая винтовая линия

На рис. 1.6 одна из проекций витка винтовой линии является окружностью, а другая проекция – синусоидой. На развертке цилиндра (рис. 1.5) винтовая линия преобразуется в прямую – гипотенузу АА1. Следовательно, цилиндрическая винтовая линия – геодезическая линия, кратчайшим образом соединяющая, в общем случае, на поверхности цилиндра вращения две любые ее точки.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 11373 — | 7612 — или читать все.

1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .

2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .

3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от де­картовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением

.

4. Докажите, что уравнение

задает эллипс, если 0 > 1.

5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?

6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = .

8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a 2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.

Читайте также:  Впн для компьютера хром

9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | |.

10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.

1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.

2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.

3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.

4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу "Квант" № 2/2001.

5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.

9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.

10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.

Ссылка на основную публикацию
Узнать историю своих предков по фамилии
История собственной семьи вызывает интерес каждого человека. Слушая семейные легенды, люди нередко увлекаются судьбой своих предков, составляют генеалогическое дерево, стараясь...
Топ лучших видеокарт для игр
Видеокарты крайне быстро улучшаются, практически каждые полгода выходит видеоадаптер, значительно превосходящий предшественника. Активный прогресс обусловлен быстрым увеличением системных требований компьютерных...
Топ приложений для запоминания слов
Топ-8 приложений, где запоминать английские слова Приложения для изучения английских слов помогают быстро и эффективно пополнять словарный запас. Без работы...
Узнать откуда пришло заказное письмо по номеру
Многим гражданам периодически приходит корреспонденция, сопровождаемая извещениями, в которых содержится скудная информация, не дающая представления об отправителе. В случае невозможности...
Adblock detector