Упрощение дробно рациональных выражений

Упрощение дробно рациональных выражений

Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры. Те, кто научатся работать с такими выражениями, упрощать их и раскладывать на множители, по сути смогут решить любую задачу, поскольку преобразование выражений — неотъемлемая часть любого серьёзного уравнения, неравенства и даже текстовой задачи.

В этом видеоуроке мы посмотрим, как грамотно применять формулы сокращённого умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой нехитрый приём, как разложение квадратного трёхчлена на множители через дискриминант.

Как вы уже наверняка догадались по формулам за моей спиной, сегодня мы будем изучать формулы сокращенного умножения, а, точнее, не сами формулы, а их применение для упрощения и сокращения сложных рациональных выражений. Но, прежде чем переходить к решению примеров, давайте познакомимся ближе с этими формулами или вспомним их:

Еще хотел бы отметить, что наша школьная система образования устроена таким образом, что именно с изучением этой темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учеников возникает одна и та же проблема, которую я сейчас объясню.

Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это где-то 8 класс) учителя говорят что-то следующее: «Если вам что-то непонятно, то вы не переживайте, мы к этой теме еще вернемся неоднократно, в старших классах так точно. Мы это еще разберем». Ну а затем на рубеже 9-10 класса те же самые учителя объясняют тем же самым ученикам, которые так и не знают, как решать рациональные дроби, примерно следующее: «А где вы были предыдущие два года? Это же изучалось на алгебре в 8 классе! Чего тут может быть непонятного? Это же так очевидно!».

Однако обычным ученикам от таких объяснений нисколько не легче: у них как была каша в голове, так и осталась, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основании которых и посмотрим, каким образом в настоящих задачах выделять эти выражения, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и как потом применять это для преобразования сложных рациональных выражений.

Сокращение простых рациональных дробей

Задача № 1

Первое, чему нам нужно научиться — выделять в исходных выражениях точные квадраты и более высокие степени, на основании которых мы сможем потом применять формулы. Давайте посмотрим:

Перепишем наше выражение с учетом этих фактов:

Задача № 2

Переходим ко второй задаче:

Упрощать тут нечего, потому что в числителе стоит константа, но я предложил эту задачу именно для того, чтобы вы научились раскладывать на множители многочлены, содержащие две переменных. Если бы вместо него был написанный ниже многочлен, как бы мы разложили его?

Давайте решим уравнение и найдем $x$, которые мы сможем поставить вместо точек:

[D=25-4cdot left( -6
ight)=25+24=49]

Мы можем переписать трехчлен следующим образом:

С квадратным трехчленом мы работать научились — для этого и нужно было записать этот видеоурок. А что делать, если кроме $x$ и константы присутствует еще $y$? Давайте рассмотрим их как еще одни элементы коэффициентов, т.е. перепишем наше выражение следующим образом:

Запишем разложение нашей квадратной конструкции:

[left( x-y
ight)left( x+6y
ight)]

Итого если мы вернемся к исходному выражению и перепишем его с учетом изменений, то получим следующее:

Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его не сократить, оно ни на что не умножается и не делится. Однако как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, подобное разложение окажется кстати. Поэтому как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.

Нюансы решения

Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:

  • Все знаменатели и числители необходимо раскладывать на множители либо через формулы сокращенного умножения, либо через дискриминант.
  • Работать нужно по такому алгоритму: когда мы смотрим и пытаемся выделить формулу сокращенного умножения, то, прежде всего, пытаемся все перевести в максимально возможную степень. После этого выносим за скобку общую степень.
  • Очень часто будут встречаться выражения с параметром: в качестве коэффициентов будут возникать другие переменные. Их мы находим по формуле квадратного разложения.

Таким образом, как только вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать — это разложить и числитель, и знаменатель на множители (на линейные выражения), при этом мы используем формулы сокращенного умножения или дискриминант.

Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить на множители.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

Переписываем и стараемся разложить каждое слагаемое:

[6xy=2cdot 3cdot xcdot y=2xcdot 3y]

Давайте перепишем все наше рациональное выражение с учетом этих фактов:

Дроби

Правильные обыкновенные дроби — числитель меньше знаменателя

Неправильные обыкновенные дроби – числитель больше знаменателя.

Смешанные обыкновенные дроби – дроби, у которых имеется целая и дробная часть. Между целой и дробной частью стоит знак $+$, но его не пишут.

  • Чтобы перейти из смешанной дроби в неправильную дробь надо знаменатель умножить на целое значение, к этому результату прибавить числитель и записать полученное число в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.
  • Чтобы в неправильной дроби выделить целую часть надо в столбик делить числитель на знаменатель до последнего остатка, далее:
  1. Результат деления – это целая часть новой дроби.
  2. Остаток — это числитель новой дроби.
  3. Знаменатель остается прежним.

Пример: Выделить целую часть $<22>/<3>$

При делении $22$ на $3$ получаем $7$ в результате и $(1)$ в остатке, следовательно, $<22>/<3>=7<1>/<3>$

  • Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.
  1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.
  2. Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.
  3. Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель. Если в результате получилась неправильная дробь, то выделяем целую часть. Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
  • При умножении и делении дробей их надо подписать под общей чертой и сократить.
  • При делении дробей, вторую дробь переворачиваем.
  • При умножении или делении смешанных дробей, дроби надо перевести в неправильные.
Читайте также:  Как показать скрытые формулы в эксель

Десятичная дробь — это любая числовая дробь, в знаменателе которой стоит степень десятки.

Десятичная запись — это форма записи десятичных дробей, где целая часть отделяется от дробной с помощью обычной точки или запятой. При этом сам разделитель (точка или запятая) называется десятичной точкой.

  • Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно. Удобно это выполнять в столбик. При этом десятичные дроби подписывают друг под другом так, чтобы запятая была под запятой. Добавляют или отнимают десятичные дроби, как натуральные числа, несмотря на запятую. В результате запятую ставят под запятыми.
  • При умножении десятичных дробей надо:
  1. Выполнить умножение чисел, не обращая внимания на запятые.
  2. В результате с конца отделить количество знаков, равное сумме количества знаков у обоих множителей.

Выполнить умножение $0.28·12.5$

  1. Умножим $28·125=3500$
  2. Отделим у $3500$ с конца три знака, так как у множителей было $2$ цифры после запятой и одна (вместе три), получаем $3.500$ или $3.5$.
  • Деление десятичных дробей
  1. Перевести все десятичные дроби в обычные. (Как дробь читается, так и записывается в обыкновенном виде , например $3.14$ (Три целых четырнадцать сотых ) можем записать как $3 <14>/<100>$ или $<314>/<100>$)
  2. Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую
  3. Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби.

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, состоящие из чисел и букв, соединенные между собой знаками алгебраических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит деление на буквенное выражение, например: $<2а>/<7с>$

Алгебраическое выражение, которое состоит только из действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.

$5а^5 ср^2$ — это одночлен, в котором $5$ — это коэффициент, а $а^5 ср^2$ — буквенная часть.

  • Чтобы возвести в степень одночлен, надо возвести в эту степень каждый сомножитель и полученные результаты перемножить.

Несколько одночленов, соединенных знаками сложения и вычитания, образуют многочлен.

Например: $4x^3-3xy+8y^5$ — это многочлен. Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ — это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х+1)$ — это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку (х+1)

Найдите значение выражения: $4(p(2x)−2p(x+3))$, если $p(x)=x−6$

В данном условии задан многочлен, зависящий от «х», как $p(x)=x−6$.

Чтобы было понятнее, назовем исходный многочлен основной формулой, тогда, чтобы записать $p(2x)$, в основной формуле заменим «х» на «2х».

Аналогично $p(x+3)= (х+3)-6 = х+3-6 = х-3$

Соберем все выражение: $4(p(2x)−2p(x+3))=4((2х-6)-2(х-3))$

Далее осталось раскрыть скобки и привести подобные слагаемые

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

«Да куда уж проще» – говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.

Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители.

Поэтому, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы «Дроби, рациональные числа» и «Разложение на множители».

Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

Let’s go! (Поехали!)

Базовые операции упрощения выражений

Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них – это

1. Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.

Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.

Например, в сумме подобные слагаемые – это и .

Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы.

Например, буква – это стул. Тогда чему равно выражение ?

Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .

А теперь попробуй такое выражение: .

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.

Например, – это (как обычно) стул, а – это стол.

стула стола стул столов стульев стульев столов

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами.

Например, в одночлене коэффициент равен .

Итак, правило приведения подобных:

Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.

Примеры:

Ответы:

2. ( и подобны, так как , следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

2. Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.

После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения.

Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.

Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители)

Примеры:

Решения:

3. Сокращение дроби.

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя и забыть о них навсегда?

В этом вся прелесть сокращения.

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
Читайте также:  Как работать с банк клиентом

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) числитель и знаменатель разложить на множители

2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

Примеры:

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении.

Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Сокращать можно только множители.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить .

Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить .

«Самые умные» сделают так:

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: – это множитель, значит можно сокращать.

Но нет: – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой пример:

– это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на , а потом и на :

Можно и сразу поделить на :

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни.

Легкий способ как определить, разложено ли выражение на множители

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Примеры:

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и ? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и – взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен :

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше – по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

Ответы:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

– это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь . Первую дробь нужно домножить на , вторую – на :

Кстати, есть одна хитрость:

Если в разных знаменателях есть один и тот же множитель в разной степени, то в общем знаменателе такой множитель будет в максимальной из этих степеней.

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из единицу, то ты очень и очень неправ!

Давай вспомним основное свойство дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, , и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить , чтобы получить ?

Вот на и домножай. А домножай на :

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например, – это элементарный множитель. – тоже. А вот – нет: он раскладывается на множители .

Это как в физике: элементарная частица – это неделимая частица, то есть она не состоит ни из каких других частиц. Например, молекула – это не элементарная частица, так как она состоит из нескольких атомов. Атом – тоже не элементарная, так как состоит из протонов, нейтронов и электронов. А вот эти протоны, нейтроны и электроны поделить нельзя. Значит, они – элементарные частицы.

Что скажешь насчет выражения ? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме «Разложение на множители»).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами – это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель . Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель – элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Читайте также:  Что такое виртуальный жесткий диск

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют формулы сокращенного умножения:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки ; во втором – разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну формулу сокращенного умножения – разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А – это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем – это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы – это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь – это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на . При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Первым делом вычисляется степень.

Вторым – умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь – элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Решение:

Перво-наперво определим порядок действий.

Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

Напоследок дам тебе два полезных совета:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Ответы:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Базовые операции упрощения:

  • Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
  • Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения и т.д.
  • Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
    1) числитель и знаменатель разложить на множители
    2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

    ВАЖНО: сокращать можно только множители!

  • Сложение и вычитание дробей:
    ;
  • Умножение и деление дробей:
    ;

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Ссылка на основную публикацию
Узнать историю своих предков по фамилии
История собственной семьи вызывает интерес каждого человека. Слушая семейные легенды, люди нередко увлекаются судьбой своих предков, составляют генеалогическое дерево, стараясь...
Топ лучших видеокарт для игр
Видеокарты крайне быстро улучшаются, практически каждые полгода выходит видеоадаптер, значительно превосходящий предшественника. Активный прогресс обусловлен быстрым увеличением системных требований компьютерных...
Топ приложений для запоминания слов
Топ-8 приложений, где запоминать английские слова Приложения для изучения английских слов помогают быстро и эффективно пополнять словарный запас. Без работы...
Узнать откуда пришло заказное письмо по номеру
Многим гражданам периодически приходит корреспонденция, сопровождаемая извещениями, в которых содержится скудная информация, не дающая представления об отправителе. В случае невозможности...
Adblock detector