Тождественно истинная формула пример

Тождественно истинная формула пример

· Закон тождества. «Всякое высказывание является логическим следованием себя самого»

Доказательство сводится к построению таблиц истинности

x

· Закон противоречия. «Для всякого высказывания неверно, что истинно и высказывание х и его отрицание.

Доказательство сводится к построению таблиц истинности

x

· Закон исключенного третьего. «Для каждого высказывания х истинно или само высказывание, или его отрицание»

Доказательство сводится к построению таблиц истинности

x

· Закон двойного отрицания. Отрицание от любого высказывания равносильно самому высказыванию.

· Добавление антцедента (истина из чего угодно). Если х – истина, то для любого у истинно, что y->x.

· Из ложного что угодно.

· Modus ponens. Если x->y – истинно и x – истинно, то согласно закону mp можно заключить, что истинно у.

Этот тип заключения очень часто используется при математических доказательствах.

Пример.

1. Все простые числа, большие 2 – нечетны.

2. 7 – простое число.

3. Следовательно, 7- нечетное число.

Здесь применяются 2 закона. Первый закон – закон заключения от общего к частному будет рассмотрен в логике предикатов.

На основании этого закона преобразуется первая посылка заключения: Для всех х, если х – простое число большее 2, то х – нечетно. Согласно заключению от общего к частному высказывание если 7 – простое число большее 2, то 7 – нечетно – истинно. (А)

Применяем mp, следовательно, высказывание 7-нечетно – истинно.

Этот закон применяется при доказательствах от противного. Он является двойственным к mp.

Этот закон позволяет строить сколь угодно длинные цепочки рассуждений.

Формальные теории

Рассмотрим один из методов получения всех тождественно истинных формул логики высказываний. До сих пор мы рассматривали формулы как выражения для булевых функций. Теперь мы будем рассматривать формулы как последовательности символов, построенные по определенным правилам. Для этого нам сначала надо задать алфавит (латинские буквы, знаки логических операций и скобки). Затем определим понятие слова. Слово – конечная последовательность символов.

1) любая переменная (x,y,z,…)

2) Если слова A и B – формулы, то слова и т. д. – формулы.

Свойство формулы: Можно описать процедуру, которая устанавливает, является слово формулой или нет.

Для преобразования формул применяются правила, которые называются правилами вывода.

1. Правило подстановки.

Формальная теория — это

1. Множество символов, образующих алфавит А.

2. Множество слов в этом алфавите, которые называются формулами ( ).

3. Подмножество формул, которые называются аксиомами( ).

4. Множество отношений между формулами, которые называются правилами вывода (R).

Алфавит может быть конечным или бесконечным. Алфавит и множество формул (А и Ф) образуют сигнатуру теории. Множество аксиом (B) также может быть конечным или бесконечным. Если множество аксиом бесконечно, то оно задается с помощью конечного множества схем аксиом и правил порождения конкретных аксиом из схем аксиом. Аксиомы делятся на два вида: логические (общие для целого класса формальных теорий) и нелогические (собственные) аксиомы, которые определяют специфику и содержание конкретной теории.

Читайте также:  Телефон на гарантии глючит

Множество правил вывода R – конечно.

Пусть F1,F2,….Fn,G – формулы теории (Ф). Применяя к ним правила вывода R можно получить некоторую совокупность формул Ф1, такую, что . Про формулы из Ф1 можно сказать, что они выводятся из Ф за один шаг. Далее можно рассматривать множество формул Ф2, выводимых из Ф1 за один шаг, т. е. из Ф они выводятся за два шага , и т. д. Некоторая формула А будет считаться выводимой из Ф, если она выводима из Ф за конечное множество шагов, т. е. принадлежит множеству Фm.

Примеры.

1. Пусть Ф=х1. Тогда x1<…>=A, т. е. с помощью правила подстановки можно получить любую однобуквенную формулу. Вывод: х,А., т. е. если из некоторого заданного множества формул выводима однобуквенная формула хi, то из этого множества выводимы все формулы.

2. Пусть Ф=(x1->x2). Тогда (x1->x2)<( x1->x2)//x1>=( (x1->x2)->x2). Следовательно из Ф выводима формула ( (x1->x2)->x2) и сама формула (x1->x2). Применим к этим двум формулам правило mp. Получим формулу х2. Если A произвольная формула, то мы можем получить ее из х2 по правилу подстановки.

Вывод: Если все формулы некоторого множества Ф’ выводимы из множества Ф, а А выводима из Ф’, то А выводима из Ф

3. Пусть Ф= >. Тогда из Ф выводима любая формула. Применяя mp к формулам , получаем формулу .Еще раз применим mp к , получим х. Следовательно, мы можем вывести любую формулу. Вывод: Если из какой-то системы формул можно вывести А и то такая система формул называется противоречивой, из нее выводится любая формула.

Выводом формулы G из формул F1,F2,….Fn в формальной теории называется такая последовательность формул E1,E2,….Ek, что Ek=G, а любая формула Ei (i

Если в теории существует вывод G из формул F1,F2,….Fn, то это записывают следующим образом:

F1,F2,….Fn , где F1,F2,….Fn – гипотезы.

Если , то G – теорема (т. е. теорема – это формула, выводимая из аксиом без гипотез).

Если , то , где — любые множества формул (при добавлении лишних гипотез выводимость сохраняется).

· логика, как наука;

· приоритет логических операций;

· тождественно истинные и тождественно ложные операции;

· основные законы алгебры логики;

· доказательство логических законов;

· простейшие преобразователи информации;

Если сложное высказывание истинно для всех значений входящих в него переменных, то такое высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫМ или тавтологией (обозначается константой 1).

НАПРИМЕР высказывание: "Демократ — это человек, исповедующий демократические убеждения" — всегда истинно, то есть является тавтологией.

Читайте также:  Почему приложение вконтакте вылетает на телефоне

Все математические, физические и др. законы являются тавтологиями. Например: (а+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Прогноз погоды на завтра может быть, например, таким: "Дождь будет или дождя не будет". Такое предсказание будет всегда истинным, хотя вряд ли кого устроит. Его математическая запись:

(по закону исключенного третьего всегда должно быть истинным либо суждение, либо его отрицание).

Проверить, является ли сложное высказывание тождественно истинным, можно по таблице истинности.

Если сложное высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫМ (обозначается константой 0 ).

НАПРИМЕР, высказывание: "Сегодня среда, а это — второй день недели" является тождественно ложным. Тождественно ложным является и следующее высказывание: "Компьютер включен и компьютер не включен (выключен)". Математическая запись его такова:

(по закону противоречия: не могут быть одновременно истинны утверждение и его отрицание.)

Если значения сложных высказываний совпадают при всех возможных значениях входящих в них переменных, то такие высказывания называют РАВНОСИЛЬНЫМИ, ТОЖДЕСТВЕННЫМИ, ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ

Упрощение сложных высказываний — это замена высказывания на равносильное ему на основе законов алгебры высказываний

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ (РАВНОСИЛЬНОСТИ) АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

· логика, как наука;

· приоритет логических операций;

· тождественно истинные и тождественно ложные операции;

· основные законы алгебры логики;

· доказательство логических законов;

· простейшие преобразователи информации;

При решении логических задач часто приходится упрощать формулы. Упрощение формул в булевой алгебре производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные законы.

Законы логики высказываний — это такие выражения, которым всегда соответствует истинное высказывание, какие бы подстановки значений мы ни делали вместо переменных. В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде формул.

1.1. Закон тождества:

— всякая мысль тождественна самой себе, то есть "А есть А", где А – любое высказывание.

2. Закон исключенного третьего:

— в один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А.

НАПРИМЕР. "Число 123 либо четное, либо нечетное, третьего не дано".

Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: либо-либо, истина-ложь. Там же где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применен.

Рассмотрим следующее высказывание: "Это предложение ложно". Оно не может быть истинным, потому, что оно утверждает, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего.

Читайте также:  Упала скорость интернета на мегафоне

Парадокс (греч. paradoxos — неожиданный, странный) возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о парикмахере:

"В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру?"

В нашей формальной системе нет возможности ввести такое ссылающееся само на себя истолкование, поэтому мы не можем выразить все возможные мысли и доводы.

3. Закон непротиворечия:

— не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть, если высказывание А — истинно, то его отрицание А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным.

Именно эта формула часто используется при упрощении сложных логических выражений.

Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными.

ПРИМЕР. Е = "На Марсе есть жизнь и на Марсе жизни нет"

4. Закон двойного отрицания:

— если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание.

НАПРИМЕР: А = "Неверно, что Матроскин не кот"

эквивалентно высказыванию А = "Матроскин — кот".

· Закон тождества. «Всякое высказывание является логическим следованием себя самого»

Доказательство сводится к построению таблиц истинности

x

· Закон противоречия. «Для всякого высказывания неверно, что истинно и высказывание х и его отрицание.

Доказательство сводится к построению таблиц истинности

x

· Закон исключенного третьего. «Для каждого высказывания х истинно или само высказывание, или его отрицание»

Доказательство сводится к построению таблиц истинности

x

· Закон двойного отрицания. Отрицание от любого высказывания равносильно самому высказыванию.

· Добавление антцедента (истина из чего угодно). Если х – истина, то для любого у истинно, что y->x.

· Из ложного что угодно.

· Modus ponens. Если x->y – истинно и x – истинно, то согласно закону mp можно заключить, что истинно у.

Этот тип заключения очень часто используется при математических доказательствах.

Пример.

1. Все простые числа, большие 2 – нечетны.

2. 7 – простое число.

3. Следовательно, 7- нечетное число.

Здесь применяются 2 закона. Первый закон – закон заключения от общего к частному будет рассмотрен в логике предикатов.

На основании этого закона преобразуется первая посылка заключения: Для всех х, если х – простое число большее 2, то х – нечетно. Согласно заключению от общего к частному высказывание если 7 – простое число большее 2, то 7 – нечетно – истинно. (А)

Применяем mp, следовательно, высказывание 7-нечетно – истинно.

Этот закон применяется при доказательствах от противного. Он является двойственным к mp.

Этот закон позволяет строить сколь угодно длинные цепочки рассуждений.

Ссылка на основную публикацию
Телефон леново включается но не запускается
Бывает, что пользователь включает свой смартфон, процесс доходит до заставки (логотипа) и дальше не грузится. Сразу начинается паника, ведь телефон...
Сфера деятельности интернет провайдера
Может предоставлять услуги: Однако самыми распространенными являются услуги виртуального хостинга, регистрации доменов и VDS. Технические аспекты Задача хостинговой компании —...
Сфинкс вижн форум пользователи
Здравствуйте. Сделал поиск по фильмам. Все работает, но почему то не могу сделать ранжирование поиска. Через апи поставил $sphinx->SetFieldWeights(array ('item_runame'...
Телефон леново инструкция для чайников
Большинство из нас чувствует себя неуверенно, когда приходится знакомиться с новой операционной системой. И несмотря на то, что Андроид сегодня...
Adblock detector