Теория множеств примеры решения задач

Теория множеств примеры решения задач

Понятие множества относится к аксиоматическим понятиям математики.

Определение. Множество – такой набор, группа, коллекция элементов, которые обладают каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Обозначение: A , B .

Определение. Два множества A и B равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. A = B .

Запись a ∈ A (a ∉ A) означает, что a является (не является) элементом множества A.

Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается ∅.

Обычно в конкретных случаях элементы всех рассматриваемых множеств берутся из одного, достаточно широкого множества U, которое называется уни- версальным множеством.

Мощность множества обозначается как |M| .
Замечание: для конечных множеств мощность множества – это число элементов.

Определение. Если |A| = |B| , то множества называются равномощными.

Для иллюстрации операций над множествами часто используются диаграммы Эйлера – Венна. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U , а внутри его – кругов, представляющих множества.

Над множествами определены следующие операции:

• дополнение A U A : =

Задача1.1.Дано: а)A,B⊆Z, A = <1;3;4;5;9>, B = <2;4;5;10>. б)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

Найти: A∩B, A∪B, AB, BA, B .

б) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , AB = [-3,2], BA = [3,10], B ZB = (-∞,2]∪(10,+∞).

Задачи для самостоятельного решения

б) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Найти: A∩B, A∪B, AB, BA, B .

б) A, B ⊆ R, A = [1;6), B = [-1;9].

Найти: A∩B, A∪B, AB, BA, B .

б) A, B ⊆ R, A = [4; 7), B = [3; 6].

Найти: A ∩ B, A ∪ B, AB, BA, B .

б)A,B ⊆ R, A = [-15;0), B = [-2;1].

Найти: A∩B, A∪B, AB, BA, A .

б) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Найти: A ∩ B, A ∪ B, AB, BA, B .

б) A, B ⊆ R, A = [-8;3), B = [2;16].

Найти: A ∩ B, A ∪ B, AB, BA, B .

б)A, B ⊆ R, A = [-10;9), B = [-5;15].

Найти: A∩B, A∪B, AB, BA, B .

б) A, B ⊆ R, A = [-8;1), B = [-5;7].

Найти: A ∩ B, A ∪ B, AB, BA, B .

б) A, B ⊆ R, A = [-4;9), B = [-5;7].

Найти: A∩B, A∪B, AB, BA, B .

б) A,B⊆R, A = [4;9), B = [3;7].

Найти: A ∩ B, A ∪ B, AB, BA, A .

Задача1.1. Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождество:

A (BC) = (AB) ∪ ( A ∩ C).

Построим диаграммы Венна.

Левая часть равенства представлена на рисунке а), правая – на рисунке б). Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей данного соотношения.

Задачи для самостоятельного решения

Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождества:

1) A(B ∪ C) = (AB) ∩ (AC);

3) A ∪ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) (A ∩ C) = (A ∩ B) C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) C = (AC) ∪ (BC)

10) A∪ ( A ∩ B) = A ∪ B

Задача 1.3. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги A, B, C. Результаты опроса оказались таковы: книгу A читали 25 учеников; книгу B читали 22 ученика; книгу C читали 22 ученика; книги A или B читали 33 ученика; книги A или C читали 32 ученика; книги B или C читали 31 ученик; все книги читали 10 учеников. Определите: 1) Сколько учеников прочли только книгу A?

2) Сколько учеников прочли только книгу B?

3) Сколько учеников прочли только книгу C?

4) Сколько учеников прочли только по одной книге?

5) Сколько учеников прочли хотя бы одну книгу?

6) Сколько учеников не прочитали ни одной книги?

Пусть U — множество учеников в классе. Тогда

|U| = 40, |A| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10

Попробуем проиллюстрировать задачу.

Разобьём множество учеников, прочитавших хотя бы одну книгу, на семь подмножеств k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7, где

Читайте также:  Как экономить интернет на телефоне

k1 — множество учеников, прочитавших только книгу A;

k3 — множество учеников, прочитавших только книгу B;

k7 — множество учеников, прочитавших только книгу C;

k2 — множество учеников, прочитавших книги A и B и не читавших книгу C;

k4 — множество учеников, прочитавших книги A и C и не читавших книгу B;

k6 — множество учеников, прочитавших книги B и C и не читавших книгу A;

k5 — множество учеников, прочитавших книги A, B и C.

Вычислим мощность каждого из этих подмножеств.

Найдём |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.

|A ∩ B| = | A| +| B| — |A ∩ B| = 25 + 22 — 33 = 14 ,

|A ∩ C| = |A| + |C| — |A ∩ C| = 25 + 22 — 32 = 15 ,

|B ∩ C| = |B| + |C| — |B ∩ C| = 22 + 22 — 31 = 13 .

Тогда k1 = 25-4-5-10 = 6; k3 = 22-4-3-10 = 5; k7 = 22-5-3-10 = 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| — |(A ∪ B ) ∪ C| .

Из рисунка ясно, что |C| — |( A ∪ B ) ∪ C| = |k7| = 4, тогда |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 – число учеников, прочитавших хотя бы одну книгу.

Так как в классе 40 учеников, то 3 ученика не прочитали ни одной книги.

Ответ:

  1. 6 учеников прочли только книгу A.
  2. 5 учеников прочли только книгу B.
  3. 4 ученика прочли только книгу C.
  4. 15 учеников прочли только по одной книге.
  5. 37 учеников прочли хотя бы одну книгу из A, B, C.
  6. 3 ученика не прочитали ни одной книги.

Задачи для самостоятельного решения

1) В течение недели в кинотеатре шли фильмы A, B, C . Каждый из 40 школьни- ков видел либо все 3 фильма, либо один из трёх. Фильм A видели 13 школьников. Фильм B видели 16 школьников. Фильм C видели 19 школьников. Сколько школьников видели только по одному фильму?

2) В международной конференции участвовало 120 человек. Из них 60 владеют русским языком, 48 – английским, 32 – немецким, 21 – русским и английским, 19 – английским и немецким, 15 – русским и немецким, а 10 человек владеют всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

3) В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким из трёх видов спорта: лёгкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют разряды по лёгкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Определите количество школьников из этой команды, имеющих разряды по всем видам спорта, если по лёгкой атлетике и плаванию разряды имеют 2 человека, по лёгкой атлетике и гимнастике – 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека.

4) Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский – 28; немецкий – 30; французский – 42; испанский и немецкий – 8; испанскии и французский – 10; немецкий и французский – 5; все три языка – 3. Сколько студентов изучает немецкий язык в том и только том случае, если они изучают французский язык? 5) Опрос 100 студентов выявил следующие данные о числе студентов, изучающих различные иностранные языки: только немецкий – 18; немецкий, но не испанский – 23; немецкий и французский – 8; немецкий – 26; французский – 48; французский и испанский – 8; никакого языка – 24. Сколько студентов изучают немецкий и испанский язык?

6) В отчёте об опросе 100 студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих различные языки, таково: все три языка – 5; немецкий и испанский – 10; французский и испанский – 8; немецкий и французский – 20; испанский – 30; немецкий – 23; французский – 50. Инспектор, представивший этот отчёт, был уволен. Почему?

Читайте также:  Делл инспирон 15 3000 series

7) В международной конференции участвовало 100 человек. Из них 42 владеют французским языком, 28 – английским, 30 – немецким, 10 – французским и английским, 8 – английским и немецким, 5 – французским и немецким, а 3 чело- века владеют всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

8) Студенты 1 курса, изучающие информатику в университете, могут посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 25 из них предпочли изучать бухгалтерию, 27 выбрали бизнес, а 12 решили заниматься туризмом. Кроме того, было 20 студентов, слушающих курс бухгалтерии и бизнеса, 5 изучали бухгалтерию и туризм, а 3 – туризм и бизнес. Известно, что никто из студентов не отважился посещать сразу 3 дополнительных курса. Сколько студентов посещали, по крайней мере, 1 дополнительный курс?
9) В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. Задачу по алгебре решили 20 человек, по геометрии – 18, по тригонометрии – 18 человек. Задачи по алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 8 человек, по геометрии и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили толь- ко две задачи?

10) В классе 40 учеников. Из них по русскому языку имеют тройки 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. 4 ученика имеют тройки только по одному русскому языку, 4 – только по математике и 11 – только по физике. По русскому, математике и физике имеют тройки 5 учащихся. 7 человек имеют тройки по математике и физике. Сколько учеников имеют тройки по двум из трёх предметов?

На этой странице вы найдете готовые примеры по базовому разделу дискретной математики: элементам теории множеств. Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.

Основные темы (множества) : задание множеств, действия с множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение); формула включений-исключений и применение для практических задач; декартово произведение множеств, мощность множества, построение диаграмм Эйлера-Венна.

Задачи с решениями о множествах онлайн

Задача 1. Начертите фигуры, изображающие множества , где — вещественная плоскость. Какие фигуры изображают множества ?

Задача 2. Докажите тождество

Задача 3. Установите взаимно однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками координатной оси Ох.

Задача 4. М — подмножество множества натуральных чисел. 10 элементов множества являются простыми числами, а остальные кратны либо 2, либо 3, либо 5. Определить мощность множества , если оно содержит: 70 чисел кратных 2; 60 чисел кратных 3; 80 числе кратных 5; 98 чисел кратных или 2 или 3; 95 чисел кратных или 2 или 5; 102 числа кратных или 3 или 5; 20 чисел, кратных 30.

Задача 5. Проверить справедливость тождеств или включений, используя алгебру множеств и диаграммы Эйлера-Венна.

Задача 6. Записать множества $A, B, C$ перечислением их элементов и найти . если
$A$ — множество корней уравнения $x^2-12x-28=0$,
$B$ — множество делителей числа 28,
$C$ — множество нечетных чисел $X$, таких что $0 le X le 7$.

Задача 7. Задано универсальное множество $U=<1,2,3,4,5,6,7,8>$ и множества $X=<1,3,6,7>$, $Y=<3,4,7,8>$, $Z=<3,4,7,8>$. Записать булеан множества $X$, любое разбиение множества $Y$, покрытие множества $Z$. Выполнить действия $(X setminus Y)cap ar Z$.

Задача 8. Решить задачу, используя диаграмму Эйлера-Венна.
Четырнадцать спортсменов участвовали в кроссе, 16 – в соревнованиях по плаванию, 10 – в велосипедных гонках. Восемь участников участвовали в кроссе и заплыве, 4 – в кроссе и велосипедных гонках, 9 – в плавании и велосипедных гонках. Во всех трех соревнованиях участвовали три человека. Сколько всего было спортсменов?

Читайте также:  Клип в пустыне поет мужчина

Задача 9. Пусть $Р(А)$ – множество всех подмножеств множества $А$. В каждом из следующих упорядоченных множеств укажите все минимальные и все максимальные элементы; найдите наибольший и наименьший элементы, если они есть, или докажите их отсутствие:

Задача 10. В химическом продукте могут оказаться примеси четырёх видов – $a,b,c,d$. Приняв в качестве исходного множества $М = $, образуйте множество всех его подмножеств $В(М)$. Дайте содержательную интерпретацию этого множества и его элементов. Каким ситуациям соответствуют, в частности, несобственные подмножества?

Решение задач о множествах на заказ

Выполняем для студентов очников и заочников решение заданий, контрольных и практических работ по любым разделам теории множеств. Также оказываем помощь в сдаче тестов. Подробное оформление, таблицы, графики, пояснение, использование специальных программ при необходимости. Стоимость примера от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 2 дней.

1. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

Решение:

Обозначим:

U – множество всех туристов (универсальное множество);

А – множество туристов, знающих английский язык;

В – множество туристов, знающих французский язык.

Проиллюстрируем графически:

Необходимо найти количество туристов, не знающих ни одного языка, т.е. количество элементов множества D = U (AU B) (на рисунке отмечено серым).

Дано:

m(A) = 70 (знают английский);

m(B) = 45 (знают французский);

m(AIB) = 23 (знают оба языка).

Найти:

Количество туристов, знающих хотя бы один язык:

Количество туристов, не знающих ни одного языка:

Ответ: 8 человек.

2. В олимпиаде по иностранному языку принимало участие 40 студентов, им было предложено ответить на один вопрос по лексикологии, один по страноведению и один по стилистике.

Результаты проверки ответов представлены в таблице:

Получены правильные ответы на вопросы Количество ответивших
по лексикологии
по страноведению
по стилистике
по лексикологии и страноведению
по лексикологии и стилистике
по страноведению и стилистике

Известно также, что трое не дали правильных ответов ни на один вопрос. Сколько студентов правильно ответили на все три вопроса? Сколько студентов правильно ответили ровно на два вопроса?

Решение задачи:

Обозначим:

U – универсальное множество, т.е. множество всех студентов,

A – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по лексикологии,

B – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по страноведению,

С – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по стилистике,

D — множество студентов, не давших ни одного правильного ответа.

Проиллюстрируем графически:

Дано : m(U) = 40 (чел.) m(D) = 3 (чел.)

m(A) = 20 (чел.) m(AÇB) = 7 (чел.)

m(B) = 18 (чел.) m(AÇC) = 8 (чел.)

m(C) = 18 (чел.) m(BÇC) = 9 (чел.)

Найти:

2) сколько студентов ответили ровно на 2 вопроса?

Решение:

1) Пересечение трех множеств разбивает универсальное множество на классы, т.е. на попарно непересекающиеся непустые подмножества. Обозначим число элементов в каждом классе маленькими латинскими буквами (см. рисунок). Можно проверить (и доказать!), что

m(AÈBÈC) = m(A) + m(B) + m(C) – m(AÇB) – m(AÇC) – m(BÇC) + m(AÇBÇC)

Очевидно, что m(AÈBÈC) = m(U) – m(D) = 40 – 3 = 37

Подставив в формулу известные данные, получим:

37 = 20 + 18 + 18 – 7 – 8 – 9 + m(AÇBÇC) è m(AÇBÇC) = 5

Итак, на три вопроса ответили 5 студентов

2) Чтобы найти количество студентов, правильно ответивших ровно на два вопроса, необходимо найти и сложить d, e, f:

d + e + f = (8 – m(AÇBÇC)) + (7 – m(AÇBÇC)) + (9 – m(AÇBÇC)) = 3 + 2 + 4 = 9

Ответ: 1) 5; 2) 9

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась — это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8755 — | 8288 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Телефон леново включается но не запускается
Бывает, что пользователь включает свой смартфон, процесс доходит до заставки (логотипа) и дальше не грузится. Сразу начинается паника, ведь телефон...
Сфера деятельности интернет провайдера
Может предоставлять услуги: Однако самыми распространенными являются услуги виртуального хостинга, регистрации доменов и VDS. Технические аспекты Задача хостинговой компании —...
Сфинкс вижн форум пользователи
Здравствуйте. Сделал поиск по фильмам. Все работает, но почему то не могу сделать ранжирование поиска. Через апи поставил $sphinx->SetFieldWeights(array ('item_runame'...
Телефон леново инструкция для чайников
Большинство из нас чувствует себя неуверенно, когда приходится знакомиться с новой операционной системой. И несмотря на то, что Андроид сегодня...
Adblock detector