Теорема о мощности множества

Теорема о мощности множества

ПАРАДОКС КАНТОРА —
Мощность множества всех множеств

Всё течёт, всё меняется.
Нельзя дважды войти в одну и ту же реку.

(Энциклопедический словарь
крылатых слов и выражений
http://www.bibliotekar.ru/encSlov/3/206.htm)

«Согласно одной из теорем Г. Кантора не существует самого мощного множества, то есть множества, обладающего наибольшим кардинальным (количественным) числом. Не существует потому, что для любого сколь угодно мощного множества можно указать ещё более мощное. Это с одной стороны. А с другой, интуитивно очевидно, что множество всех множеств должно быть самым мощным, ведь оно представляет совокупность всех множеств, какие только могут существовать, вообще включает все мыслимые множества» (Сухотин А.К. Парадоксы науки. — Москва: Молодая гвардия, 1980 — с.240, http://nplit.ru/books/item/f00/s00/z0000026/st006.shtml)

В теории множеств теорема Кантора гласит, что
Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.»
(Википедия, Теорема Кантора)

Парадокс Кантора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно М. Тогда по теореме Кантора 2м > М.

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 года, обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 года) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой A.
(Википедия, Парадокс Кантора)

«Универсальное множество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно»
(Википедия, универсальное множество)

В этом рассуждении нет парадокса. Кантор описал ситуацию изменения знания (его объёма и качества), то есть процесс познания.

Одним из следствий сущностной глобальной черты мира, в котором мы существуем – его изменчивости – является то, что знание относительно («Логические парадоксы. Пути решения», «О принципах решения парадоксов», пункт 2, http://proza.ru/2009/04/27/370). Из этого следует:

1. на конкретный момент времени Т(x) существует универсум N(x), имеющий максимально возможную мощность M[N(x)]. Это множество множеств, отражающее максимальный, кардинальный предел объёма всего нашего знания на конкретный момент времени;

2. новое знание, появляющееся в процессе познания мира, а также в процессе изменения самого мира, приводит к новому универсуму N(y), имеющему по сравнению с предыдущим большую мощность M[N(y)] на новый момент времени T(y).

Таким образом, противоречие кроется лишь в точном разделении моментов времени.

В ОДНО И ТО ЖЕ ВРЕМЯ НЕ СУЩЕСТВУЕТ ДВУХ УНИВЕРСУМОВ.

Универсум всегда один. Но мощность его меняется с включением новых элементов в новый момент времени. Поэтому в изменении мощности универсума нет противоречия, так как знание относительно. Ведь мир изменяется качественно и количественно, а значит, и знание о нём тоже. И в наличии на конкретный момент времени лишь одного самого мощного множества тоже нет противоречия по тому же принципу.

Приведённое рассуждение – это прямое описание «принципа относительности знания», то есть его бесконечности, бесконечного обновления и развития в сторону движения к Абсолютной истине.

Другое дело, если принимать иную «точку опоры выводов»: в виде дефиниции «кардинального множества» в качестве Абсолютной истины. То есть считать, что может в принципе существовать только одно самое мощное множество. Потому что его наличие означает конечность знания, то есть существование множества максимальной, конечной мощности M[N(limX)], даже, возможно, и не достижимого для человека в принципе. В такой интерпретации тезис Кантора выглядит ошибочно сформулированным. Ошибка заключается в «ложном выводе». Если, согласно цитате, Кантор взял в качестве посылки мысль о том, что «для любого сколь угодно мощного множества можно указать ещё более мощное», и сделал на этом основании вывод, что «не существует самого мощного множества», то такая позиция исключает в принципе существование конечной Абсолютной истины, констатируя бесконечность процесса познания, развития. В противовес позиции Кантора во второй части сформулированного парадокса констатируется, что, всё-таки Абсолютная истина в виде множества кардинальной мощности существует или должна существовать. Основанием такого утверждения приводится интуитивное понимание. Такая позиция может иметь право на существование, как и позиция Кантора, хотя она и менее устойчива логически. Потому что интуитивная очевидность не есть логический аргумент, в отличие от приведённого Кантором факта постоянного изменения знания, как следствия сущностной черты мироздания. Более того, предположение о существовании конечного множества в виде Абсолютной истины прямо противоречит фактической действительности – изменчивости мира, в том числе и знания, включая мощность множества.

Читайте также:  Планшет с юсб выходом

В самом деле, если мы, к примеру, пересчитали всех цыплят в хозяйстве и тем самым установили мощность множества «все цыплята» (о которых мы можем знать в данный момент времени), то, придя к соседу, увидели ещё цыплят. Мощность нашего множества оказалось под вопросом. Поставив безумную цель сосчитать всех цыплят в мире, через несколько лет мы путём организации получения такой информации в виде передвижений личных и сторонников плюс получение полной информации из всех хозяйств от самых мелких личных хозяйств до крупных птицеводческих ферм, транснациональных сельскохозяйственных птицеводческих корпораций, государств и их объединений в данной сфере, будем иметь громадный массив данных обо всех существующих цыплятах в мире на конкретный момент времени. Задача выполнена? Найдена ли максимальная мощность множества «все цыплята»? Конечно же, нет. Потому что только теперь мы в полной мере можем оценить изменчивость мира – мы увидим, что ежесекундно в мире на свет появляются миллионы новых цыплят, как и исчезают. Поэтому говорить о стабильности и точности нашего знания не приходится теперь ещё в большей степени, несмотря на все усилия и наличие огромной базы данных. Как говорится, «цыплят по осени считают» не зря.

Фиксация объёма "множества множеств" представляется ещё более сложной задачей, чем определение мощности "множества цыплят". И как бы близко мы ни подбирались к определению мощности множества всех множеств, в следующий момент времени наш результат может оказаться уже не соответствующим действительности. "Истина всегда где-то рядом".

Это рассуждение иллюстрирует невозможность получения истинного непротиворечивого логического вывода на основе зыбких, ошибочных, ложных основаниях, посылках. Всё дело в том, что изначально был нарушен принцип «полного и точного понимания проблемы» («Логические парадоксы. Пути решения», «О принципах решения парадоксов», пункт 1, http://proza.ru/2009/04/27/370). Согласно нему, перед нахождением решения и даже перед постановкой вопроса нужно было «расставить все точки над i». Тогда, возможно и не пришлось бы задумываться над этой задачей вообще. Как уже упоминалось мной в решении парадокса «О множестве обычных множеств» (http://www.proza.ru/2009/04/20/768), введённое Кантором понятие «множества» является нечётким, неоднозначно определённым. Оно не учитывает изменчивость мироздания, а, следовательно, неверно. Для приведения к однозначному пониманию «множества» нужно было бы выбрать одно из двух:

«множество» – это обобщение всех существующих элементов по указанным признакам:

1) на ОДИН конкретный момент времени

2) всех таких элементов, возможных в принципе, то есть – на БЕСКОНЕЧНЫЙ момент времени, включая прошлое и будущее, или, другими словами, без учёта момента времени вообще.

Все известные мне рассуждения, касающиеся множеств, так или иначе, основываются на втором толковании понятия «множества». То есть множество понимается как «универсальное математическое множество», мощность которого составляют все мыслимые объекты. А понимание категории «мыслимые объекты» изначально подразумевает, что они могут даже и не существовать в действительности, а только в уме, потому что они мыслимые, то есть как существующие, так и только возможные в будущем или существовавшие раньше. Поэтому такие рассуждения и приводят к противоречивым выводам и вообще противоречивому пониманию «множеств», как и в данной задаче. Легко показать, что вторая трактовка понятия «множества» ошибочна.

Беря за основу понимания «множества» совокупность всех возможных в принципе элементов по интересующим нас признакам, мы не отграничиваем объём множества, что нам необходимо для точного и чёткого понимания и рассуждения, а наоборот, раздвигаем границу понимания до бесконечного предела. Потому что изменчивость мира приводит к постоянному изменению количества и качества знания, в том числе знания об интересующих нас элементах, в частности. И, основываясь на второй трактовке «множества», мы с одной стороны, должны включать в объём нашего множества все новые элементы, появляющиеся с течением времени, как и существовавшие до нас, а, с другой стороны, мы можем остановиться в таком перечислении только в одном случае – указание общего существующего числа элементов нашего множества на конечный момент времени, то есть на «конец света», фактически. Только в этот момент времени будет существовать «множество» максимально возможной мощности.

Читайте также:  Тесты по делфи с ответами

Конечно, казалось бы, большое количество множеств можно указать в максимальном объёме и до «конца света». Например, количество монет или банкнот исчезнувшего государства или ушедшей эпохи. После их исчезновения составить «множество валют» с максимальной мощностью вроде бы не столь сложно. Тогда как во время существования государства или соответствующей исторической эпохи невозможно было составить такого множества, хотя можно было предположить с уверенностью, что такой универсум будет существовать, так как любому государству или эпохе отведён свой временной срок. Но и в этом случае такие, как указанное, с валютой исчезнувших государств, или подобные им другие множества, могут изменить свою мощность в любую сторону: как увеличения объёма элементов – нахождение клада, – так и уменьшения объёма элементов – утрата хранящихся экземпляров.

Поэтому трактовка множества с опорой на бесконечную продолжительность времени или его игнорирование, что, по сути, одно и то же, является ошибкой, приводящей к всеобщему массовому заблуждению и ложным логическим следствиям.

Человек не может в принципе иметь полный объём информации по интересующему его вопросу по двум причинам:

1) Практическое отсутствие у конкретного человека возможности располагать всей известной информацией по интересующему его вопросу в данный конкретный момент времени.

Теоретически, конечно, человек может добыть, изучить весь объём интересующей его информации. Но практически это сделать, во-первых, затруднительно, а, во-вторых, он не сможет верно оценить полноту этого объёма информации.

2) Изменение самой информации (объёма и качества) в процессе изучения.

Информация изменяется, потому что мир не стоит на месте в момент изучения, а изменяется вместе со всем, что в нём присутствует. Можно предположить, что информацию о конечных множествах возможно изучить полностью на конкретный момент времени. Но, как описано выше в примере с валютой, даже полная информация о конечном множестве на конкретный момент времени может измениться в следующий момент времени с изменением обстоятельств, то есть с изменением самого этого конечного множества (обнаружение клада или утрата образцов, как в указанном примере).

Из этого рассуждения следует, что верной дефиницией «множества» будет первая его возможная трактовка, которая полностью отражает существующее в действительности положение вещей – изменчивость мироздания, а, следовательно, изменчивость информации о нём. Ведь единственная функция, главная цель любого множества, то, для чего оно и создаётся, – это определение мысленной границы между нашим знанием и незнанием, отделение известного и существующего от неизвестного и несуществующего.

Таким образом, мощность любого «множества», включая и множество кардинальной мощности, то есть «множество всех множеств», зависит от момента времени, в который мы определяем объём этого множества. В этот конкретный момент времени существует только одно множество кардинальной мощности – универсум. Но в следующий момент времени мощность универсума изменяется – уменьшается или возрастает – потому что изменяется само мироздание.

Мощностью конечного множества М называется количество его элементов. Обозначается . Если , то множества А и В называются равномощными.

Если между двумя конечными множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то эти множества равномощны. Этот очевидный факт позволяет, во-первых, установить равенство мощности этих множеств, не вычисляя их. Во-вторых, часто можно вычислить мощность множества, установив его однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна, либо легко вычисляется.

Теорема 1.1. Если мощность конечного множества А равна , то число всех подмножеств А равно , то есть .

Множество всех подмножеств множества М называется булеаном. Мощность такого множества называется степеньюмножества М и обозначается . Для конечных множеств выполняется: .

Определение. Множества А и В называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Заметим, что для конечных множеств это утверждение легко доказать. Для бесконечных множеств оно определят само понятие равномощности.

Читайте также:  Поехать на заработки в германию

Определение. Множество А называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел : .

Очень упрощённо можно сказать, что данное бесконечное множество является счётным, если для его элементов можно установить нумерацию с помощью натуральных чисел.

Без доказательства примем ряд важных фактов:

1. Любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел является счётным.

2. Множество является счётным.

3. Множество рациональных чисел является счётным (является следствием из предыдущего утверждения).

4. Объединение конечного числа счётных множеств является счётным.

5. Объединение счётного числа конечных множеств является счётным.

6. Объединение счётного числа счётных множеств является счётным.

Все эти утверждения, как можно видеть, позволяют достаточно успешно устанавливать факт, что данное множество является счётным. Однако сейчас будет показано, что не всякое бесконечное множества является счётным; существует множества большей мощности.

Теорема 1.2 (теорема Кантора). Множество всех действительных чисел из отрезка не является счётным.

Допустим, что множество является счётным и существует его нумерация. Поскольку любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической), то проделаем это с числами данного множества. Расположим их в порядке этой нумерации:

Теперь рассмотрим любую бесконечную десятичную дробь вида , организованную таким образом, что и так далее. Очевидно, что данная дробь не входит в рассматриваемую последовательность, поскольку от первого числа она отличается первой цифрой после запятой, от второго – второй цифрой и так далее. Следовательно, мы получили число из данного интервала, которое не пронумеровано и, таким образом, множество не является счётным. Его мощность называется континуум, а множества такой мощности называются континуальными. Приведённый метод доказательства называется диагональным методом Кантора.

Следствие 1. Множество действительных чисел континуально.

Следствие 2. Множество всех подмножеств счётного множества континуально.

Как показывается в теории множеств (с помощью метода, аналогичного приведённому выше), для множества любой мощности множество всех его подмножеств (булеан) имеет более высокую мощность. Поэтому не существует множества максимальной мощности. Например, множество-универсум , описанное Кантором должно содержать все мыслимые множества, однако оно само содержится в множестве своих подмножеств в качестве элемента (парадокс Кантора). Получается, что множество не является множеством максимальной мощности.

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными.

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.

Пусть множество точек отрезка [0, 1] счетно. Значит, эти точки можно перенумеровать, т. е. расположить в виде последовательности x1, x2 … xn, … .

Разобьем отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы ни находилась точка x1, она не может принадлежать всем отрезкам , , . Поэтому среди них есть отрезок D1, не содержащий точку x1 (рис. 1.7). Возьмем этот отрезок D1 и разделим его на три равные части. Среди них всегда есть отрезок D2, не содержащий точку x2. Разделим этот отрезок на три равные части и т. д. Получим последовательность отрезков D1 É D2 É D3 É…ÉDn É… . В силу аксиомы Кантора сходится к некоторой точке x при n ® ¥. По построению эта точка x принадлежит каждому отрезку D1, D2, D3,…, Dn, …, т. е. она не может совпадать ни с одной из точек x1, x2, … xn, …, т. е. последовательность x1, x2 … xn, …не исчерпывает всех точек отрезка [0, 1], что противоречит первоначальному предположению. Теорема доказана.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума.

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Из рис. 1.8 следует, что множество точек параболы y = x 2 эквивалентно множеству точек прямой –¥

Теорема о множествах высшей мощности. Множество всех подмножеств данного множества имеет более высокую мощность, чем данное множество.

Из этой теоремы следует, что множеств с максимально большой мощностью не существует.

ТЕМА 2. ОТНОШЕНИЯ. ФУНКЦИИ

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10951 — | 8181 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Телефон леново включается но не запускается
Бывает, что пользователь включает свой смартфон, процесс доходит до заставки (логотипа) и дальше не грузится. Сразу начинается паника, ведь телефон...
Сфера деятельности интернет провайдера
Может предоставлять услуги: Однако самыми распространенными являются услуги виртуального хостинга, регистрации доменов и VDS. Технические аспекты Задача хостинговой компании —...
Сфинкс вижн форум пользователи
Здравствуйте. Сделал поиск по фильмам. Все работает, но почему то не могу сделать ранжирование поиска. Через апи поставил $sphinx->SetFieldWeights(array ('item_runame'...
Телефон леново инструкция для чайников
Большинство из нас чувствует себя неуверенно, когда приходится знакомиться с новой операционной системой. И несмотря на то, что Андроид сегодня...
Adblock detector