Стационарными точками функции являются

Стационарными точками функции являются

В математике , в частности , в исчислении , А стационарная точка из дифференцируемой функции одной переменной является точка на графике функции , где функция по производной равна нулю. Неформально, это точка , в которой функция «останавливает» увеличение или уменьшение (отсюда и название).

Для дифференцируемых функций нескольких действительных переменных , стационарная точка является точкой на поверхности графика , где все его частные производные равна нуль ( что эквивалентно, градиент равен нуль).

Стационарные точки легко визуализировать на графике функции одной переменной: они соответствуют точкам на графике , где касательная горизонтальна (т.е. параллельно к х Оу ). Для функции двух переменных, они соответствуют точкам на графике , где касательная плоскость параллельна ху плоскости.

содержание

Поворотные моменты

Поворотный момент является точкой , в которой производная меняет знак. Поворотный момент может быть либо относительный максимум или относительный минимум (также известный как локальный минимум и максимум). Если функция дифференцируема, то точка поворота является стационарной точкой; Однако не все стационарные точки точки поворота. Если функция дважды дифференцируема, стационарные точки, не поворотные точек являются горизонтальными точками перегиба . Например, функция имеет стационарную точку в точке х = 0, который также является точкой перегиба, но не является поворотным моментом. Икс ↦ Икс 3 < Displaystyle х mapsto х ^ <3>>

классификация

Изолированные стационарные точки вещественной функции подразделяются на четыре вида, с помощью первой производной теста : С 1 < Displaystyle C ^ <1>> е : р → р < Displaystyle е толстой кишки mathbb , в mathbb >

  • локальный минимум ( минимальный поворотный момент или относительный минимум ) является одним где производная функции изменяется от отрицательного к положительному;
  • локальный максимум ( максимальная точка поворота или относительный максимум ) является одним где производная функции изменяется от положительного до отрицательного;

  • растет точка перегиба (или перегиба ) является одним где производная функции положительна на обеих сторонах неподвижной точки; такая точка отмечает изменение в вогнутости ;
  • падения точка перегиба (или перегиба ) является одним где производная функции отрицательна с обеих сторон неподвижной точки; такая точка отмечает изменение в вогнутости.
Читайте также:  Rombica smart cast v07 инструкция

Первые два варианта вместе известны как « локальные экстремумы ». Точно так же точка , которая является либо глобальным (или абсолютный) максимум или глобальной (или абсолютный) минимум называется глобальным (или абсолютный) экстремум. Последние два варианта-стационарные точки, которые не локальный экстремум-известны как седел .

По теореме Ферма , глобальные экстремумы должны произойти (для функции) на границе или в стационарных точках. С 1 < Displaystyle C ^ <1>>

Кривая черчения

Определение положения и характера стационарных точек средств в исследовании функции дифференцируемых функций. Решение уравнения ( х ) = 0 возвращает й -координату всех стационарных точек; то у -координаты тривиальна значение функции у тех х -координат. Специфика стационарной точки при й в некоторых случаях может быть определена путем анализа второй производной F «» ( х ):

  • Если F «» ( х ) 0, стационарная точка х является вогнутой вверх; минимальный экстремум.
  • Если F «» ( х ) = 0, характер стационарной точки должен быть определен путем других средств, часто отмечая изменение знака вокруг этой точки.

Более простой способ определения природы неподвижной точки путем анализа значений функции между неподвижными точками (если функция определена и непрерывна между ними).

Простой пример точки перегиба является функция F ( х ) = х 3 . Существует явное изменение вогнутости относительно точки х = 0, и мы можем доказать это с помощью исчисления . Вторая производная F является всюду непрерывные 6 х , а при х = 0, F » = 0, а знак изменений около этой точки. Таким образом , х = 0 является точкой перегиба.

В более общем смысле , стационарные точки в вещественной функции те точки х , где производная в каждом направлении равна нулю, или , что эквивалентно, то градиент равен нулю. е : р N → р < Displaystyle е толстой кишки mathbb ^ к mathbb >

пример

Для функции F ( х ) = х 4 мы (0) = 0 и F » (0) = 0. Даже если F » (0) = 0, то эта точка не является точкой перегиба. Причина заключается в том, что знак ( х ) изменяется с отрицательного на положительный.

Читайте также:  Не отображается удаленный рабочий стол

Для функции F ( х ) = sin ( х ) мы (0) ≠ 0 и F„“ (0) = 0. Но это не является стационарной точкой, а это точка перегиба. Это происходит потому , что изменения вогнутости от вогнутых вниз вогнутых вверх и знака х» ( х ) не изменяются; он остается положительным.

Для функции F ( х ) = х 3 мы (0) = 0 и F„“ (0) = 0. Это и является стационарной точкой и точкой перегиба. Это происходит потому , что изменения вогнутости от вогнутых вниз вогнутых вверх и знака х» ( х ) не изменяются; он остается положительным.

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Если в точке x * выполняется условие:

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /2, f(3)=3 8 /81
Ответ: fmin= 5 /2 при x=2; fmax=9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π /3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π /3+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Читайте также:  Carmageddon max damage обзор

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x — x 2

Напомним определения локального максимума и локального минимума функции.

Пусть функция определена всюду в некоторой окрестности точки с. Тогда эта функция имеет в точке с локальный максимум [или соответственно локальный минимум], если существует такая окрестность точки с, что для всех точек этой окрестности значение является наибольшим [или соответственно наименьшим] среди всех значений этой функции.

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

В § 1 предыдущей главы нами было установлено необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции.

Это условие имеет следующий вид: если функция дифференцируема в данной точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то

Вместе с тем в § 1 гл. 6 было указано, что обращение в нуль производной является только необходимым и не является достаточным условием локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции.

Так, функция имеет производную обращающуюся в нуль в точке но никакого экстремума в этой точке функция не имеет (график, этой функции см. на рис. 6.2).

Точки, в которых производная функции обращается в нуль, будем называть стационарными точками функции

Каждая стационарная точка — это точка возможного экстре мума функции.

Однако сделать заключение о том, что в данной стационарной точке на самом деле имеется экстремум, можно лишь на основании дополнительного исследования, для проведения которого мы должны установить достаточные условия экстремума.

Такие условия будут установлены в ближайших трех пунктах.

Ссылка на основную публикацию
Спутник вылетел за пределы солнечной системы
«Во́яджер» (англ. voyager , от фр. voyageur — «путешественник») — название двух американских космических аппаратов, запущенных в 1977 году, а...
Снять пароль с роутера tp link
Домашняя беспроводная сеть Wi-Fi должна быть защищена паролем. Но ведь бывают разные случаи, скажете вы. Например, вы хотите пригласить друзей...
Снять пароль с макроса excel
Здравствуйте, друзья! Последние дни бился над такой задачей: Имеется файл .xls, в нем макрос на VBA, защищенный паролем. Файл создается...
Спутниковые системы связи курсовая работа
В данной курсовой работе рассмотрены история, особенности и перспективы развития спутниковой сети связи. Новейшие технологии спутниковой связи предлагают действенные технико-...
Adblock detector