Сложение дробей с натуральными числами

Сложение дробей с натуральными числами

Одним из действий с обыкновенными дробями является сложение. В этой статье мы разберемся, как осуществляется сложение обыкновенных дробей. Сначала рассмотрим сложение дробей с одинаковыми знаменателями, после этого изучим сложение дробей с разными знаменателями и подробно разберем решения примеров. Дальше остановимся на сложении обыкновенной дроби и натурального числа. Наконец, поговорим о сложении трех, четырех и большего количества обыкновенных дробей.

Навигация по странице.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сначала разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Получить правило сложения дробей нам поможет следующий пример.

Пусть на тарелку положили три восьмых доли яблока и после этого еще две восьмых доли такого же яблока. Эти действия можно описать так: 3/8+2/8 . В результате на тарелке оказалось 3+2=5 восьмых долей яблока, то есть, 5/8 . Таким образом, сложение обыкновенных дробей 3/8 и 2/8 дает обыкновенную дробь 5/8 .

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что сложение дробей с одинаковыми знаменателями дает дробь, числитель которой равен сумме числителей складываемых дробей, а знаменатель равен знаменателям исходных дробей.

Итак, мы получили правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним.

Запишем это правило сложения дробей с помощью букв. Пусть нам нужно выполнить сложение обыкновенной дроби a/b и обыкновенной дроби c/b . Тогда, согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, справедливо равенство .

Осталось рассмотреть примеры сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложите обыкновенные дроби 5/23 и 7/23 .

Знаменатели складываемых дробей равны, поэтому в результате сложения будет дробь с таким же знаменателем 23 , а ее числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть, 5+7=12 . Итак, сложение дробей 5/23 и 7/23 приводит нас к дроби 12/23 .

Кратко решение записывается так: .

.

Если сложение дробей дает сократимую дробь (смотрите сократимые и несократимые дроби), то нужно провести сокращение дроби. Если при этом полученная дробь неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), то нужно выделить из нее целую часть.

Вычислите сумму обыкновенных дробей 5/28 и 3/28 .

Применив правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получаем .

Очевидно, полученная дробь сократима, так как числитель и знаменатель делятся на 2 (при необходимости смотрите признак делимости на 2). Выполним сокращение дроби: .

Таким образом, сложение дробей 5/28 и 3/28 дает 2/7 .

Приведем краткую запись всего решения: .

Выполните сложение обыкновенных дробей 15/62 и 140/62 .

Проведем сложение дробей с одинаковыми знаменателями: .

Проверим, можно ли сократить полученную дробь. Для этого вычислим наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя, удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида: 155=62·2+31 , 62=31·2 , следовательно, НОД(155, 62)=31 . Таким образом, дробь 144/62 можно сократить на 31 , имеем .

Очевидно, дробь 5/2 неправильная. Выполнив выделение целой части из неправильной дроби 5/2 , получаем .

Итак, весь процесс сложения дробей с одинаковыми знаменателями 15/62 и 140/62 можно кратко записать так: .

.

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями можно свести к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого достаточно складываемые дроби привести к общему знаменателю.

Исходя из этих соображений, получаем правило сложения дробей с разными знаменателями, которое содержит два шага:

  • во-первых, складываемые дроби приводятся к общему знаменателю (обычно, к наименьшему общему знаменателю);
  • во-вторых, выполняется сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Читайте также:  Контроль потребления электроэнергии в частном доме

Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется сложение двух дробей с разными знаменателями.

Сложите обыкновенные дроби 5/8 и 1/12 .

Знаменатели складываемых дробей разные, поэтому, сначала нужно выполнить приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. Для этого находим НОК(8, 12)=24 , находим соответствующие дополнительные множители 24:8=3 и 24:12=2 дробей 5/8 и 1/12 , в результате получаем и .

Теперь складываем дроби 15/24 и 2/24 , имеем .

Таким образом, сложение дробей с разными знаменателями 5/8 и 1/12 дает дробь 7/24 .

Запишем все решение кратко: .

.

Заметим, если при сложении дробей получается сократимая дробь и (или) неправильная дробь, то нужно провести сокращение дроби и при возможности выделить целую часть.

Выполните сложение дробей с разными знаменателями 12/5 и 2/3 .

Для сложения дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к наименьшему общему знаменателю: .

Теперь сложим дроби 36/15 и 10/15 , получаем .

Проверим, не является ли полученная дробь сократимой. Для этого вычислим наибольший общий делитель числителя и знаменателя, воспользовавшись алгоритмом Евклида: 46=15·3+1 , 15=1·15 , следовательно, НОД(46, 15)=1 . Таким образом, дробь 46/15 несократима.

Но дробь 46/15 очевидно неправильная, поэтому из нее нужно выделить целую часть. Так как 46:15=3 (ост. 1) , то .

На этом сложение дробей с разными знаменателями завершено. Вот краткое решение: .

.

Сложение обыкновенной дроби и натурального числа

Сложение натурального числа с правильной обыкновенной дробью не представляет интереса, так как такая сумма по определению есть смешанное число. Например, .

Сложение натурального числа с неправильной обыкновенной дробью можно проводить через сложение двух дробей, если натуральное число заменить дробью (смотрите натуральное число как дробь со знаменателем 1). К примеру, .

Однако, сложение натурального числа и неправильной дроби целесообразнее проводить, выделив из дроби целую часть. В результате сложение натурального числа и дроби сводится к сложению натурального числа и смешанного числа. Для примера вычислим сумму из предыдущего примера таким способом: . Рассмотренный подход требует меньше вычислительной работы по сравнению с предыдущим способом, что особенно заметно, когда числа велики.

Сложение трех и большего количества обыкновенных дробей

Разберем, как сложить три, четыре и большее количество обыкновенных дробей.

Сложение обыкновенных дробей обладает переместительным и сочетательным свойствами. Это следует из определения обыкновенных дробей, а также из того, как мы определили сложение обыкновенных дробей. Таким образом, сложение трех, четырех и т.д. дробей можно проводить аналогично сложению трех большего количества натуральных чисел.

Сложите четыре обыкновенные дроби 5/12 , 13/12 , 1/12 и 1/12 .

Нам нужно вычислить сумму . Последовательно заменяя две соседние дроби их суммой, получим . Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть: .

.

Аналогично проводится сложение нескольких натуральных чисел и нескольких обыкновенных дробей.

Вычислите сумму .

Свойства сложения позволяют провести следующую группировку слагаемых: . Сумма трех натуральных чисел в скобках равна 14 , а сумма равна дроби 11/12 . Таким образом, .

.

Стоит отметить, что и правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, и правило сложения дробей с разными знаменателями остаются справедливыми для трех и большего количества складываемых дробей.

Рассмотрим решение одного из предыдущих примеров в этом свете.

Читайте также:  Как разобрать ноутбук asus n73s

Сложите четыре обыкновенные дроби 5/12 , 13/12 , 1/12 и 1/12 .

Обратившись к правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получаем . Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть: .

.

Сложите три дроби с разными знаменателями 1/2 , 3/8 и 7/12 .

Сначала выполним приведение трех дробей к наименьшему общему знаменателю (смотрите приведение к общему знаменателю трех и большего количества дробей), получаем .

Осталось лишь закончить сложение: .

.

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или (frac<1><5>) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или (frac<2><5>) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Решение:

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби (frac<1> <5>+ frac<2><5>).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

Ответ: туристы прошли (frac<3><5>) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Нужно сложить две дроби (frac<3><4>) и (frac<2><7>).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти общий знаменатель, а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь (frac<3><4>) нужно умножить на 7. Вторую дробь (frac<2><7>) нужно умножить на 4.

В буквенном виде получаем такую формулу:

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение смешанных дробей происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа (3frac<6><11>) и (1frac<3><11>).

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел (7frac<1><8>) и (2frac<1><6>).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь (7frac<1><8>) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь (2frac<1><6>) на 4.

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух правильных дробей в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

Дробь (frac<5><7>) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей (frac<2><7>) и (frac<3><7>).

Дробь (frac<58><45>) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей (frac<2><5>) и (frac<8><9>).

Читайте также:  Чем опасны восстановленные айфоны

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) (frac<3> <11>+ frac<5><11>) б) (frac<1> <3>+ frac<2><9>).

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) (1frac<9><47>) б) (5frac<1><3>)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) (8frac<5> <7>+ 2frac<1><7>) б) (2frac<9> <13>+ frac<2><13>) в) (7frac<2> <5>+ 3frac<4><15>)

а) (8frac<5> <7>+ 2frac<1> <7>= (8 + 2) + (frac<5> <7>+ frac<1><7>) = 10 + frac<6> <7>= 10frac<6><7>)

Задача №1:
За обедам съели (frac<8><11>) от торта, а вечером за ужином съели (frac<3><11>). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

Ответ: весь торт съели.

You may also like:

Сравнение неправильных дробей правила и примеры.

Деление дробей. Правила. Примеры.

Умножение дробей.

Вычитание смешанных дробей.

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтоб сложить 2 дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатели оставить без изменений. Сложение дробей , примеры :

Общая формула для сложения обыкновенных дробей и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Обратите внимание! Проверьте нельзя ли сократить дробь, которую вы получили, записывая ответ.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Правила сложения дробей с разными знаменателями:

  • приводим дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого находим наименьшееобщее кратное (НОК) знаменателей;
  • складываем числители дробей, а знаменатели оставляем не меняя;
  • сокращаем дробь, которую получили;
  • если получили неправильная дробь – преобразовываем неправильную дробь в смешанную дробь.

Примеры сложения дробей с разными знаменателями:

Сложение смешанных чисел (смешанных дробей).

Правила сложения смешанных дробей:

  • приводим дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ);
  • отдельно складываем целые части и отдельно дробные части, складываем результаты;
  • если при сложении дробных частей получили неправильную дробь, выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем ее к полученной целой части;
  • сокращаем полученную дробь.

Пример сложения смешанной дроби :

Сложение десятичных дробей.

При сложении десятичных дробей процесс записывают «столбиком» (как обычное умножение столбиком), так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Запятые обязательно выравниваем чётко друг под другом.

Правила сложения десятичных дробей:

1. Если нужно, уравниваем количество знаков после запятой. Для этого добавляем нули к необходимой дроби.

2. Записываем дроби так, чтобы запятые находились друг под другом.

3. Складываем дроби, не обращая внимания на запятую.

4. Ставим запятую в сумме под запятыми, дробей, которые складываем.

Обратите внимание! Когда у заданных десятичных дробей разное количество знаков (цифр) после запятой, то к дроби, у которой меньше десятичных знаков приписываем нужное количество нулей, для уравнения в дробях число знаков после запятой.

Разберёмся на примере. Найти сумму десятичных дробей:

Уравниваем число знаков после запятой в десятичных дробях. Дописываем 2 нуля справа к десятичной дроби 13,7 .

Если сложение десятичных дробей вы освоили достаточно хорошо, то недостающие нули можно дописывать в уме.

Ссылка на основную публикацию
Скопировать контакты с андроид на компьютер
Мы уже рассказывали о том, как скопировать контакты со смартфона на смартфон. Но иногда проще перебросить контактную книгу на компьютер....
Скайп не приходят сообщения
Общение – основная цель любого мессенджера, и Скайп – не исключение. Бывает, что сообщения в Скайпе не отправляются – эта...
Скайп предыдущие версии с официального сайта
На данной странице представлены все версии Скайп для компьютера (полноценные инсталляторы скаченные с официального сайта) и телефона, выпущенные за последние...
Скопировать строку таблицы значений 1с в другую
Не претендуя на полноту описания функций и методов работы с таблицей значений 1с привожу некоторые аспекты, которые в своё время...
Adblock detector