Симметричная разность множеств примеры

Симметричная разность множеств примеры

В результате операций над множествами из одних множеств могут получаться другие множества. Основные из этих операций – объединение, пересечение и дополнение множеств. Кроме того, часто применяются операции разности и симметрической разности множеств.

Объединение множеств. Пусть заданы множества A и В. Объединение этих множеств – множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат или множеству A, или множеству B (т.е. хотя бы одному из них). Объединение двух множеств обозначают как .

Аналогично определяется объединение нескольких множеств. Пусть даны множества . Их объединение — множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Операция объединения в этом случае обозначается как, или.

Пересечение множеств. Пусть заданы множества A и В. Пересечение этих множеств – множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B (т.е. обоим множествам сразу). Пересечение двух множеств обозначают как .

Аналогично определяется пересечение нескольких множеств. Пусть даны множества . Их пересечение — множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат всем этим множествам сразу. Операция пересечения в этом случае обозначается как, или.

Дополнение множества. Пусть задано множество A. Дополнение этого множества – множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые не принадлежат множеству A. Дополнение множества обозначают как .

Разность множеств. Пусть заданы множества A и В. Разность этих множеств – множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность множеств обозначают как S = A B.

Симметрическая разность множеств. Пусть заданы множества A и В. Симметрическая разность этих множеств – множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат или множеству A, или множеству B, но не им обоим сразу. Симметрическую разность множеств обозначают как S = AB.

Читайте также:  Microsoft word сбой активации продукта как исправить

Следует обратить внимание, что операции пересечения и объединения выполняются с несколькими множествами (двумя или более), а операция дополнения – с одним множеством. Операции разности и симметрической разности выполняются с двумя множествами.

Операции разности и симметрической разности можно выразить через операции пересечения, объединения и дополнения:

, (1.1)

. (1.2)

Эти равенства можно доказать на основе определений операций над множествами.

Пример 1.1 – Даны множества: A = <2, 7, 9, 12>, B = <3, 6, 7, 12, 15>. Выполнить над этими множествами операции, рассмотренные выше.

Чтобы найти дополнения множеств A и B, необходимо уточнить, что в данной задаче имеется в виду под универсальным множеством. Пусть под ним имеется в виду все множество целых чисел (обозначим его как Z). Тогда дополнение множества A можно записать как = <a | aZ, aA>. Аналогично записывается дополнение множества B: = <b | bZ, bB>.

1Числа во множествах записаны по возрастанию только для удобства. На самом деле, порядок элементов во множествах безразличен. Поэтому, например, пересечение множествAиBможно записать и как <7, 12>, и как <12, 7>.

2Следует обратить внимание, что в операциях пересечения, объединения, а также симметрической разности порядок множеств, с которыми выполняется операция, безразличен:,,AB=BA. Говорят, что эти операции обладают свойством коммутативности. В то же времяABBA.

Операции на множествах. Свойства операций

Операции на множествах

1. Объединение

Объединение двух множеств:

Пусть даны два множества и тогда их объединением называется множество содержащее в себе все элементы
исходных множеств:

Объединение более чем двух множеств:

Пусть дано семейство множеств тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

Пересечение

Пусть даны два множества и , тогда их пересечением называется множество , которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:

Читайте также:  Как убрать длинный пробел между словами

3.Разность

Пусть даны два множества и , тогда их разностью называется множество , содержащее в себе элементы , но не :

4.Симметрическая разность

Пусть даны два множества и тогда их симметрической разностью называется множество , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

5.Дополнение

Пусть дано множество его дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:

Свойства операций

Пусть — произвольные множества, тогда:

1. Операция объединение множеств коммутативна:

2. Операция объединение множеств ассоциативна:

3. Операция пересечение множеств коммутативна:

4. Операция пересечения множеств ассоциативна:

Симметри́ческая ра́зность в теории множеств — это сумма разностей двух множеств.

Определение

Пусть даны два множества $ A $ и $ B $ . Тогда их симметрической разностью называется множество:

$ A Delta B = ( A setminus B ) cup ( B setminus A ). $

Ссылка на основную публикацию
Сборка пк без корпуса
Если серьезно, то компьютер без корпуса работать может и даже будет, но это достаточно опасно, особенно когда вы плохо понимаете...
Ростелеком брянск личный кабинет вход
Наименование организации: ПАО «Ростелеком» Официальный сайт: rt.ru Вход в личный кабинет Ростелеком Вход в личный кабинет Ростелеком осуществляется по адресу:...
Ростелеком изменил лицевые счета
Когда вы решили стать абонентом компании Ростелеком, то с вами был заключен договор, в котором была указана информация, которая требуется...
Сборка пк на райзен 3 1200
Socket AM4, 4-ядерный, 3100 МГц, Turbo: 3400 МГц, Summit Ridge, Кэш L2 - 2048 Кб, Кэш L3 - 8192 Кб,...
Adblock detector