Ряд маклорена для экспоненты

Ряд маклорена для экспоненты

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a .

Связанные определения

  • В случае, если a = 0 , этот ряд также называется рядом Макло́рена.

Свойства

  • Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a .
  • Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a . Например:

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

  • Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точкиa , U(a,ε)
  • Пусть
  • Пусть p — произвольное положительное число,

тогда: точка при x или при x > a :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

  • Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a
  • И n производную в самой точке a , тогда:

— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано)

Ряды Маклорена некоторых функций

для всех

для всех и всех комплексных где

  • Kвадратный корень:

для всех для всех

  • Конечный геометрический ряд:

для всех

для всех для всех для всех для всех

для всех для всех для всех

Литература

  • В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический анализ» ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов, изд.: Проспект 2004.
  • В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина, Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
  • Д. Т. Письменный «Конспект лекций по высшей математике», изд.: АЙРИС-пресс, 2002.

См. также

  • Ряд Фурье
  • Дельсарт, Жан Фридерик
  • Визуализация ряда Тейлора на сайте Сообщества свободного математического моделирования

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Ряд Маклорена" в других словарях:

ряд Маклорена — Makloreno eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Maclaurin series vok. Maclaurinsche Reihe, f rus. ряд Маклорена, m pranc. série de Mac Laurin, f … Fizikos terminų žodynas

Маклорена ряд — Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… … Википедия

Ряд Тейлора — Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… … Википедия

Ряд тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… … Википедия

Читайте также:  Куда должен дуть кулер на процессоре

МАКЛОРЕНА РЯД — (по имени К. Маклорена) частный случай Тейлора ряда … Большой Энциклопедический словарь

Ряд (математич.) — Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +. + un +. или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +. + q… … Большая советская энциклопедия

Маклорена ряд — (по имени К. Маклорена), частный случай Тейлора ряда. * * * МАКЛОРЕНА РЯД МАКЛОРЕНА РЯД (по имени К. Маклорена), частный случай Тейлора ряда (см. ТЕЙЛОРА РЯД) … Энциклопедический словарь

Маклорена ряд — исторически неправильное название (по имени К. Маклорена) степенного ряда вида: , где f(0), f’(0), f”(0), . f(n)(0). – значения заданной функции f(x) и её последовательных производных при х = 0. Этот ряд был … Большая советская энциклопедия

МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА — частный случай Тейлора формулы. Пусть функция f(x)имеет ппроизводных в точке x=0. Тогда в нек рой окрестности Uэтой точки функцию f(x).можно представить в виде где r п (х) остаточный член n го порядка, представимый в том или ином виде. Термин М.… … Математическая энциклопедия

РЯД — б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия

Разложение функций в степенные ряды.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений

Понятие суммы степенного ряда

Любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу:

На уроке мы рассматривали уже не числовые, а функциональные и степенные ряды. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился: . В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при . Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ. В частности, суммой ряда в его области сходимости является некоторая функция :

Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области , вне этого промежутка степенной ряд будет расходиться.

Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:

Область сходимости ряда:

(По какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).

Читайте также:  Web версия сайта мамба

Теперь вспоминаем школьный график синуса :

Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел….

Теперь фишка. Если начертить график бесконечного многочлена , то получится… та же самая синусоида! То есть, наш степенной ряд сходится к функции . Используя признак Даламбера , легко проверить, что ряд сходится при любом «икс»: (собственно, поэтому в таблице разложений и появилась такая запись об области сходимости).

А что значит вообще «сходится»? По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если я возьму первые три члена ряда и начерчу график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду. А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда: и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать (на достаточно длинном промежутке). Чем больше членов ряда – тем лучше приближение. И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд сходится к функции при любом значении «икс».

Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса:

Область сходимости ряда:

Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена совпадает с графиком арктангенса только на отрезке (т.е. в области сходимости ряда):

Вне отрезка разложение арктангенса в ряд расходится, а график бесконечного многочлена пускается во все тяжкие и уходит на бесконечность.

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать две взаимно обратные задачи:

– найти сумму ряда (функцию) по известному разложению;
– разложить функцию в ряд (если это возможно) и найти область сходимости ряда.

Что проще? Конечно же, разложение – с него и начнём.

Разложение функций в степенной ряд.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Приступим к увлекательному занятию – разложению различных функций в степенные ряды. Сначала пара формул, затем практические задания.

Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:

Примечания: надстрочный индекс в последнем слагаемом обозначает производную «энного» порядка. Вместо буквы «а» в литературе часто можно встретить букву .

Данная формула носит фамилию англичанина Тейлора (ударение на первый слог).

На практике процентах в 95-ти приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда :

Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену (ударение на второй слог). Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора по степеням .

Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции:

Как оно получилось? По формуле Маклорена:

Рассмотрим функцию , тогда:

Теперь начинаем находить производные в точке ноль: первую производную, вторую производную, третью производную и т.д. Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:

Совершенно очевидно, что

Читайте также:  Темный фон для вк в браузере яндекс

Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!

Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).

Примеры разложения функций в ряд Маклорена

В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.

Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням

Решение незамысловато, главное, быть внимательным.

Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, разложение которой есть в таблице:

В данном случае :

Раскрываем наверху скобки:

Теперь умножаем обе части на «икс»:

В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синуса, косинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении (за исключением, конечно, тех случаев, когда, например, – см. комментарии к табличным разложениям). Домножение на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда:

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Это пример для самостоятельного решения.

Я не стал рассматривать простейшие разложения вроде , или , поскольку это фактически задача в одно действие. В нужные табличные разложения вместо «альфы» необходимо подставить , , и немного причесать полученные ряды. Единственное предостережение – не теряйте по невнимательности степени и знаки.

А сейчас для разнообразия рассмотрим что-нибудь с минусами.

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

В таблице находим похожее разложение:

Трюк прост – перепишем нашу функцию немного по-другому:

Таким образом, и:

Теперь нужно определить область сходимости. Согласно таблице, ряд сходится при .
В данном случае :

Знак «минус» испаряется, кроме того, квадрат и так неотрицателен, поэтому надобность в модуле отпадает:

Как исследовать ряд на концах найденного интервала? В данном случае… никак! Значения , не входят в область определения функции и равенство теряет смысл. А даже если их и подставить в правую часть, то получатся расходящиеся числовые ряды.

Поэтому безо всяких исследований сразу записываем область сходимости ряда:

Но так бывает далеко не всегда:

Простейшее разложение из учебника сходится ещё в одной точке: . Здесь значение тоже вне игры, а вот при сумма получившегося знакочередующегося ряда в точности равна .

Интересно отметить, что разложение в ряд такого логарифма:

– сходится уже на обоих концах интервала: (при подстановках , получается тот же самый сходящийся ряд )

Таким образом, с логарифмами нужно работать осмотрительно!

Администратор
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Ссылка на основную публикацию
Ростелеком брянск личный кабинет вход
Наименование организации: ПАО «Ростелеком» Официальный сайт: rt.ru Вход в личный кабинет Ростелеком Вход в личный кабинет Ростелеком осуществляется по адресу:...
Регулятор громкости для автомагнитолы
Бывший хозяин видимо пытаясь снять магнитолу за рукоятку громкости, сломал её. В результате громкость не регулировалась, а отпаявшиеся контакты энкодера...
Регулярные выражения perl примеры
Regular expressions, или регулярные выражения - способ определения символьной маски для последующего сравнения с ней строки символов или для обработки...
Ростелеком изменил лицевые счета
Когда вы решили стать абонентом компании Ростелеком, то с вами был заключен договор, в котором была указана информация, которая требуется...
Adblock detector