Различные средние для нескольких отрезков

Различные средние для нескольких отрезков

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

II – я Всероссийская дистанционная ученическая Конференция

Различные средние положительных. Неравенство Коши.

Горбунов Денис , 11 класс, МОУ лицей №1 г. Кунгура Пермского края

Научный руководитель: Тихомирова Галина Николаевна , учитель математики лицея №1

В школьном курсе математики и физики изучаются средние величины (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное).

Между ними существуют удивительные соотношения, которые исследованы учёными. О.Коши, французский математик, сопоставив две средние величины, пришёл к выводу о том, что среднее арифметическое n чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.

Неравенство Коши используется при решении уравнений, неравенств и систем методом оценок, появляется в вариантах теста ЕГЭ (например, задача С 3 в 2006 году).

Развитие теории неравенств с переменными за последние сто лет привело к появлению в ней необычайного разнообразия методов и направлений, что и стало предметом моего исследования.

Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Теоретическая часть представлена тремя разделами: средние величины и их сравнение для двух положительных чисел; замечательные неравенства и методы решения задач.

Вторая часть – практическая, которая ставила своей целью научиться применять замечательные неравенства при решении различных заданий.

Думаю, что проделанная мною работа поможет мне успешно подготовиться к ЕГЭ и будет интересна для ознакомления выпускникам школ и увлечённым математикой людям.

Тема: Различные средние положительных. Неравенство Коши.

Цель: изучение средних величин, определение оптимальных методов решения задач со средними величинами.

познакомиться с историей появления средних величин,

дать определение средним величинам,

доказать алгебраически и геометрически соотношение между средними величинами,

рассмотреть применение неравенства Коши при исследовании свойств функций,

систематизировать различные методы решения нестандартных задач.

Почему я выбрал эту тему?

Когда передо мной встал вопрос выбора темы, я из всех рассматриваемых вариантов незамедлительно выбрал эту. Свой выбор я основывал на том, что эта тема поможет мне подготовиться к экзаменам и узнать много нового для себя.

2.1.Понятие средней величины.

2.2.Из истории средних величин

2.3.Соотношение между средними величинами

2.3.1.Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического

2.3.2.Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного

2.3.3.Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического

2.3.4.Геометрическое доказательство сравнения средних величин

2.3.4.1. Среднее арифметическое и среднее квадратичное

2.3.4.2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое

2.3.4.3. Среднее гармоническое и среднее геометрическое

2.3.4.4. Построение четырёх средних по заданным отрезкам a и b

2.3.5.Решение геометрических задач на сравнение средних величин

2.4. Средние для n положительных чисел

2.5. Замечательные пределы, порождаемые классическими средними.

2.6. Замечательное неравенство Коши

2.7.Основные методы решения задач на доказательство неравенств

2.7.1. Метод анализа

2.7.2. Метод синтеза

2.7.3. Метод от противного

2.7.4. Метод использования тождеств

2.7.5. Метод оценивания

2.7.6. Метод введения новых переменных, или метод

2.7.7. Метод введения вспомогательных функций

2.7.8. Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижения степени неравенства

2.8. Применение неравенства Коши при решении задач.

2.9. Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию

IV. Список литературы

В школьном курсе математики каждый пятиклассник встречается со средним арифметическим двух или нескольких натуральных чисел (; ;…). При изучении геометрии в восьмом классе, рассматривая прямоугольный треугольник, каждый школьник знакомится со средним геометрическим двух отрезков (). В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. С уроков физики известно, что если и — скорости на двух участках пути, то средняя скорость равна , то есть является средним гармоническим и . Существует ещё и четвёртое среднее – среднее квадратичное .

Можно выделить большой класс задач, для решения которых достаточно знать и уметь применять сравнительно несложные неравенства. К числу таких неравенств относится, прежде всего, неравенство Коши: среднее арифметическое двух положительных чисел a и b не меньше их среднего геометрического: . Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

В неравенствах равенство достигается, если a = b . Эти неравенства эквивалентны друг другу при , .

Данные неравенства используются при решении уравнений, неравенств и систем методом оценок, появляются в вариантах теста ЕГЭ (например, задача С 3 в 2006 году).

Следует отметить, что развитие теории неравенств с переменными за последние сто лет привело к появлению в ней необычайного разнообразия методов и направлений.

Я изучил большое количество литературы по данной теме, систематизировал её. Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Теоретическая часть представлена тремя разделами: средние величины и их сравнение для двух положительных чисел; замечательные неравенства и методы решения задач.

Вторая часть – практическая, которая ставила своей целью научиться применять замечательные неравенства при решении различных заданий.

Думаю, что проделанная мною работа поможет мне успешно подготовиться к ЕГЭ.

Понятие средней величины.

Средней величиной действительных чисел называют всякое действительное число х, удовлетворяющее условию , где m – наименьшее, а М – наибольшее среди чисел .

Средняя величина чисел только одна в том и только в том случае, когда .

Средним геометрическим действительных неотрицательных чисел называют такое действительное неотрицательное число .

Средним арифметическим действительных чисел называют действительное число .

Средним гармоническим действительных положительных чисел называют положительное число .

Средним квадратическим (квадратичным) действительных чисел называют неотрицательное действительное число.

Если рассмотреть два положительных числа a и b, то эти средние величины будут выглядеть следующим образом:

среднее арифметическое:

среднее геометрическое:

среднее гармоническое:

среднее квадратичное:

Можно рассмотреть следующие задачи.

Задачи № 1. Определить среднюю скорость туриста на всем пути, если от пункта А до пункта В он шёл со скоростью , а обратно – со скоростью .

Решение. Обозначим символом S расстояние между пунктами А и В, тогда

— время туриста от А до В, а

— время туриста обратно.

+ — время, затраченное на весь путь.

Тогда

Получили, что есть среднее гармоническое скоростей и .

Задача № 2. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С на гипотенузу опущен перпендикуляр CD, который делит гипотенузу на отрезки AD = a; BD = b. Выразить через a и b:

DE (где Е – есть точка пересечения окружности, описанной около треугольника АВС, и перпендикуляра, проведённого к АВ через центр окружности)

Читайте также:  На комплексной плоскости постройте точки

СК (где точка К- есть основание перпендикуляра, опущенного из точки D на r = СО.

Решение.

1) ∆АВС – прямоугольный, поэтому АВ – диаметр окружности

АВ = a + b, О – центр окружности, то есть АО = ОВ = ОЕ =

Получили, что ЕО = является средним арифметическим двух отрезков, длины которых a и b.

2)CD┴АВ (по условию), следовательно, по свойству перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, CD²=ADDB. Значит

, то есть .

CD является средним геометрическим двух отрезков, длины которых равны a и b.

3) ∆OED – прямоугольный, так как EO ┴ АВ (по условию)

(как радиус окружности)

По теореме Пифагора

, то есть DE является средним квадратичным для двух отрезков, длины которых a и b.

∆DOC – прямоугольный, так как CD ┴ АВ. Проведём

┴ СО.

По свойству прямоугольного треугольника CD² = CO CK, то есть

, то есть СК – среднее гармоническое для a и b.

Из решения этой задачи видно, что для двух отрезков a и b можно найти четыре зависимости: среднее квадратичное, среднее гармоническое, среднее арифметическое, среднее геометрическое.

В какой же зависимости они находятся друг от друга?

Из истории средних величин.

Когда возникли понятия средних величин в математике, точно не известно. Но предполагают, что уже вавилоняне более трех тысяч лет назад использовали их при вычислении квадратных корней. В дошедших до нас табличках квадратные корни из натуральных чисел фактически вычислены по известной нам формуле:

если N = β² + r, то = .

Восстанавливая ход рассуждений вавилонян, современные учёные пришли к выводу, что они брали среднее арифметическое чисел β и . В самом деле, если обозначить , то β= .

Много позже древнегреческий математик Герон (I в.) в своей «Метрике», применяя тот же метод приближённого вычисления квадратного корня, писал, что если результат получается со слишком большой погрешностью, то указанную процедуру можно повторить, т.е. взять среднее арифметическое чисел βи .

Применим этот алгоритм к вычислению квадратного корня из натурального числа, записав его в виде произведения двух натуральных чисел: N = ab (при простом N один из сомножителей равен 1). В качестве первого приближения значения возьмём , затем следуя рекомендации Герона, найдем , которое оказывается средним гармоническим чисел a и b .

Также средние величины были известны и античным математикам. В одном из математических тестов, которые приписывают древнегреческому математику Архиту (ок. 428 – 365 г.г. до н.э.), среднее арифметическое А , среднее геометрическое G и среднее гармоническое Н определялись как равные члены соответственно арифметической, геометрической и гармонической пропорций:

a – А = А – b;

(a – H) : a = (H – b) : b.

Из этих равенств получаем

; ; .

Свои названия перечисленные средние величины получили в античные времена. Аристотель (384 – 322 г.г. до н.э.), великий философ древности, объяснял происхождение названий так. Среди чисел каждое последующее больше предыдущего на постоянное число (при условии a среднее пропорциональное. Объясняется это совсем просто: ведь равенство равносильно пропорции a : G = G : b .

По преданию гармоническое среднее ввёл Пифагор (VI в. до н.э.), выразив с его помощью отношение основных гармонических интервалов. Пифагор установил, что вместе со струной длиной 12 l , созвучно сливаясь с ней звучат струны того же натяжения с длинами 6 l (выше на октаву), 8 l и 9 l (выше на кванту и на кварту), при этом 9 l есть среднее арифметическое чисел 6 l и 12 l , а 8 l он определил как среднее гармоническое этих чисел. Это созвучие (и определяющее его отношение 6, 8, 9, 12) называлось тетрадой. Пифагорейцы считали, что тетрада есть «та гамма, по которой поют сирены».

Открытие тетрады привело пифагорейцев к поискам подобных соотношений в других областях человеческих знаний, в том числе архитектуре («золотое сечение»), геометрии, космологии и т.д.

В древнегреческой математике, которая была по преимуществу геометрической, было известно несколько способов построения средних по двум данным отрезкам а и в . У Паппы Александрийского (III в.) в его «Математическом собрании», своде результатов древнегреческой математики, приведено построение среднего геометрического двух отрезков по способам его предшественников Эратосфена (276 – 174 г.г. до н.э.), Никомеда (II в. до н.э.) и Герона ( I в.), дано также описание построения на одной фигуре всех трёх отрезков.

Формулы, задающие различные средние, вообще говоря, имеют смысл не только при положительных a и b . Однако, чтобы каждый раз не задумываться над вопросом существования средней величины, обычно считают a и b положительными .

Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-94057-918-2
Год издания: 2012
Тираж: 3000 экз.
Количество страниц: 168 стр.
Размер: 144×203/8

Седьмая книжка серии "Школьные математические кружки" посвящена классическим средним величинам, большинство из которых были известны еще в древности, и применениям их свойств при решении арифметических, алгебраических и геометрических задач. Особое внимание уделено взаимосвязи различных средних величин и установлению межпредметных связей между некоторыми темами школьных курсов алгебры и геометрии. Книжка предназначена для занятий со школьниками 5-11 классов. В нее вошли разработки десяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. Приведен также большой список дополнительных задач различного уровня трудности. Для удобства использования заключительная часть книжки сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям элементарной математики.

ЛИСТКИ

1. Вычисление среднего арифметического и взвешенного среднего арифметического
2. Свойства среднего арифметического
3. Среднее гармоническое и среднее геометрическое
4. Сравнение средних
5. Построения классических средних на одном чертеже
6. Среднее арифметическое. Разностные треугольники
7. Среднее геометрическое
8. Среднее гармоническое. Гармонические треугольники
9. Среднее квадратичное. Автомедианные треугольники
10. Среднее арифметическое взвешенное. Векторы и координаты

Предисловие

Предлагаемая книжка содержит небольшой вводный текст, содержащий основные определения и объясняющий происхождение классических средних, и десять тематических занятий математического кружка, разбитых на два раздела. В материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя: несколько подробно разобранных типовых задач по теме; задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя. В разделе приложений представлен обширный список дополнительных задач различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть – дополняет их новыми идеями (наиболее сложные задачи отмечены знаком *). Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них также приведены, как правило, подробные решения (в наиболее простых случаях – ответы и указания).

Читайте также:  Сколько мегабайт в кбайт

Для удобства, в конце каждого занятия приведен список задач из этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля его освоения и углубления. Следует учесть, что есть задачи, которые отнесены к нескольким занятиям (поскольку допускают различные подходы). Кроме того, для удобства преподавателей, в разделе приложений помещен раздаточный материал. В конце книги приведен список литературы, на которую иногда делаются ссылки в тексте. Большую часть этих изданий и публикаций можно использовать в качестве дополнительной литературы.

Занятия 1 – 3 первого раздела ориентированы на учащихся 5 – 7 классов, а занятие 4 – на учащихся 8 – 9 классов. Проведение этих занятий может помочь школьникам освоиться с различными приложениями среднего арифметического нескольких чисел, узнать и научиться применять его различные свойства, познакомиться с понятием взвешенного среднего арифметического, а также установить логические связи между основными величинами в задачах на движение и их аналогами в других текстовых задачах. Это должно повысить вычислительную, алгебраическую и логическую культуру учащихся и расширить возможности решения ими текстовых задач за счет применения рациональных и эффективных методов, опирающихся на взаимосвязь средних величин.

Занятия 5 – 9 второго раздела ориентированы на учащихся 8 – 10 классов, а занятие 10 – на учащихся 10 – 11 классов. Проведение этих занятий может помочь школьникам познакомиться с типичными геометрическими конфигурациями, в которых возникают классические средние величины, узнать различные геометрические способы доказательства неравенств о средних для двух положительных чисел, познакомиться с особыми видами треугольников, связанных со средними величинами. Это позволит повторить многие разделы школьного курса геометрии, развить уже имеющиеся навыки решения геометрических задач, расширить арсенал методов их решения (в том числе за счет эффективного применения векторов) и познакомиться с рядом интересных геометрических фактов, выходящих за пределы стандартной школьной программы.

Естественно, что преподаватель математического кружка может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, поменять порядок их изучения, и т. д. При этом, имеет смысл учитывать, что материалы занятий 1 – 5, 7 и 10 достаточно близки к общеобразовательной программе, а занятия 6, 8 и 9 ориентированы на более глубокое «погружение» в геометрический материал.

Предлагаемые разработки занятий различаются и с методической точки зрения, что обусловлено как спецификой их содержания, так и возрастными особенностями школьников. Предполагается, что при проведении занятий первого раздела задачи 1 – 6 (в занятии 4 – задачи 1 – 5) вступительной части предлагаются учащимся последовательно, по одной, и после того, как какая-то часть школьников решит задачу, проводится общее обсуждение решения и делаются какие-то обобщения. При проведении занятий второго раздела материал вступительной части занятия обсуждается со школьниками, в основном, фронтально.

Автор благодарен своей ученице Е. Харитоновой (выпуск 2005 года) за коллекцию геометрических задач, представленных в ее экзаменационном проекте, И.А. Кушниру, из книг которого взято много интересных задач, Ю.А. Блинкову и А.И. Сгибневу – за полезные обсуждения, Е.С. Горской – за выполнение прекрасных чертежей.

Отдельная и огромная благодарность – Александру Васильевичу Шаповалову: за подборки задач, за внимательное прочтение книжки, за подробные комментарии, способствовавшие существенному улучшению ее текста, и за написание содержательного послесловия.

Послесловие

Средние: что дальше .

Проработав материал этой книжки, ученик станет «на ты» со средними, особенно в геометрии. Для него не будет проблемой доказать, что та или иная величина является средним указанного вида. Но кое-кто захочет пойти дальше, и, вероятно, поставит такие вопросы: а) а можно ли заранее (до начала выкладок) догадаться, что величина C – это некоторое среднее двух данных величин x и y , и если да, то б) какое именно из средних? в) как использовать знание, что C – это такое-то среднее величин x и y ?

Легче ответить на вопрос в). Во многих случаях из алгебраического равенства следуют чисто геометрические свойства – см., например, свойства разностных (занятие 6), гармонических (занятие 8) или автомедианных (занятие 9) треугольников. Вообще, знание явной формулы для C никогда не повредит: ее можно использовать в последующих уравнениях и неравенствах. В частности, можно доказывать геометрическое неравенство, сведя его к неравенству между средними (см., например, задачу Д57).

На вопросы а) и б) нет ответа, гарантирующего стопроцентный результат. Но есть несколько полезных соображений.

Проверка гипотез. Пусть возникла некоторая гипотеза (скажем, что величина C есть какое-то из средних для величин x и y , или, что C выражается через x и y такой-то формулой), но доказать эту гипотезу с ходу не удается. Тогда, прежде чем погружаться в выкладки, полезно эту гипотезу проверить.

а) Свойства средних. Гипотезу, что C есть какое-то среднее x и y , легче всего проверить через свойства средних. Выделим пять свойств, занумеровав их так, что чем меньше номер свойства, тем легче его проверять.

1. С ( kx , ky ) = kC ( x , y ) при k > 0 (однородность или одинаковая размерность)

2. C = x x = y C = y (совпадение только при равенстве)

3. С зависит от x и y симметрично (исключением является взвешенное среднее).

4. C зависит только от x и y .

5. Если x y , то x C y (среднее лежит между числами).

Доказательства этих свойств очевидны, но некоторые требуют пояснения.

Свойство 1 в геометрии означает (почти всегда), что x , у и C имеют одинаковую размерность, то есть либо все три величины это длины, либо они все – площади, либо они все – объемы. Тогда при гомотетии все три умножаются на одинаковую степень коэффициента гомотетии. И наоборот, если x и y – одной размерности (например, длины), а предполагаемое среднее C – другой (например, площадь), то при гомотетии с коэффициентом k > 0 равенство, очевидно, нарушится.

Читайте также:  Пропал майл ру что делать

Свойство 4 очевидно для конструкций, жестко определяемых параметрами x и y (см, например, конструкцию задачи 5.1). Но такая жесткость есть далеко не всегда. Так, в задаче 5.2 длины x и y оснований трапеции вовсе не задают однозначно длины ее боковых сторон, диагоналей и т. д. Даже и длины параллельных основаниям отрезков с концами на боковых сторонах могут зависеть не только от x и y (например, «плохим» будет отрезок, делящий пополам периметр трапеции).

Увы, даже выполнение всех свойств не гарантирует, что верна одна из формул средних (например, когда в треугольнике со сторонам x и y и углом 60° между ними С – третья сторона). Но такое бывает очень редко.

б) Отладка формулы. Пусть у нас есть несколько вариантов формулы, и мы хотим узнать, какой из этих вариантов верен (может быть, и никакой). Тут можно рассмотреть как можно более простые частные случаи, и проверить, какая из формул подойдет для них. Для средних полезен, например, случай x = 0. При этом, правда, некоторые фигуры могут выродится: отрезок может стать точкой, трапеция с основанием x превратится в треугольник, а ее диагонали сольются с боковыми сторонами. Но часто условие остается осмысленным, а вычисление C упрощается. Посмотрим, например, на C в задаче 5.2а при a = 0.
1) Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, стал средней линией треугольника, C = b /2 . Значит, подходит только среднее арифметическое.
2) Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей совпал с верхним основанием, C = 0. Значит, подходят среднее геометрическое и среднее гармоническое.
3 ) Отрезок отсёк треугольник вдвое меньшей площади, C = b /2 . Подходит только среднее квадратичное.

Для отрезка п. 2 подберем еще один частный случай, чтобы выбрать между двумя подходящими средними. Рассмотрим трапецию, отсеченную от треугольника средней линией, ее основания x и 2 x . Диагонали трапеции – это медианы треугольника, выше их точки пересечения лежит 2.3 третьей медианы, поэтому C = 4 x /3 . Подходит только среднее гармоническое.

Помимо прочего, «отладка» помогает точно выписать формулу, которую вы помните приблизительно, «с точностью до знаков и коэффициентов».

Список литературы

[1] А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия для 8 – 9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1991.
[2] А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия для 10 – 11 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1992.
[3] М.Б. Балк, В.Г. Болтянский. Геометрия масс. – М.: Физматлит, 1987.
[4] А.Д. Блинков. «Сценарии уроков математики (6 – 11 классы)», предметно-содержательный журнал «Современный урок», ОЦ «Педагогический поиск», 2007 – 2011.
[5] Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика. Учебник для 6 класса средней школы. – СПб, «Свет», 1996.
[6] М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: «Просвещение», 1992.
[7] А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Числовые средние и геометрия. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №9, 1990.
[8] Р.К. Гордин. Геометрия. Планиметрия. Задачник для 7 – 9 классов. – М.: МЦНМО, 20 12 .
[9] С.И. Зетель. Новая геометрия треугольника. – М.: Учпедгиз, 1963.
[10] С.И. Зетель. Свойства треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию. «Математическое просвещение», №5, 1936.
[11] Д.В. Клименченко. Задачи по математике для любознательных. – М.: Просвещение, 1992.
[12] И.А. Кушнир. Возвращение утраченной геометрии. – К.: «Факт», 2000.
[13] И.А. Кушнир. Геометрия на баррикадах. – К.: «Факт», 2009.
[14] Московские математические регаты / Сост. А.Д. Блинков, Е.С. Горская, В.М. Гуровиц. – М.: МЦНМО, 2007.
[15] В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии: в 2 ч. – М.: МЦНМО, 2007 .
[16] В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. – М.: Физматлит, 1989.
[17] А.П. Савин, В.А. Сендеров. Описанная трапеция и средние. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №8, 1972.
[18] З.М. Скопец. Сравнение различных средних двух положительных чисел. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №2, 1971.
[19] Энциклопедический словарь юного математика. / Сост. А.П. Савин. – М.: «Педагогика», 1985.
[20] А.Х. Шень. Дюжина задач о среднем арифметическом. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №6, 2008.

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемЗинаида Амиреджибова

Похожие презентации

Презентация на тему: " Определение Повторение Среднее арифметическое Отрезок XY называется средним геометрическим (или средним пропорциональным) для отрезков, на которые делится." — Транскрипт:

2 Определение Повторение Среднее арифметическое Отрезок XY называется средним геометрическим (или средним пропорциональным) для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Отрезок XY называется средним геометрическим (или средним пропорциональным) для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

3 B C A D b a c bcbc acac h

4 B ABC ACD по 1 признаку подобия C A D b a c bcbc acac h AB AC = AD AC 2 = AB AD

5 B C A D b a c bcbc acac h Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и проекции катета на гипотенузу.

6 B ABC ACD по 1 признаку подобия C A D b a c bcbc acac h 1 2 ADC CBD по 1 признаку подобия AD CD = DB CD 2 = AD DB

7 B C A D b a c bcbc acac h Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для проекций катетов на гипотенузу.

9 B C А D Блиц-опрос Найдите неизвестные линейные элементы прямоугольного треугольника АВС,

10 B C А D Блиц-опрос Найдите неизвестные линейные элементы прямоугольного треугольника АВС,

11 А C В Н 6 2 х В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота СН. СА = 6, АН = 2. Найти НВ. 2 ( ) 2 ?

12 B C А D25 В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота СD. По данным чертежа найти СD. ЕТ 816

13 B C А D По данным чертежа найти СМ. К Е ,5 М

14 B C А В прямоугольном треугольнике АВС построена медиана ВМ, точка О – точка пересечения медиан. Найти ОМ. М Е 20О 30 2 ( ) 2 х

15 B C А D Найдите неизвестные линейные элементы прямоугольного треугольника АВС,х 2 ( ) 2 9 = 4 х х = ?

Ссылка на основную публикацию
Работа с far manager
Фар менеджер - один из самых удобных файловых менеджеров, рассчитанный на работу с файлами и папками на дисках, прежде всего,...
Программы для поиска транспорта
Грузы Широкие возможности фильтров позволяют найти точно подходящую для вашего транспорта загрузку. Несколько тысяч свежих предложений. Каждый сможет найти себе...
Программы для полной очистки жесткого диска
Подборка программ, которые помогут очистить жёсткий диск Windows компьютера и его съёмные устройства от ненужных файлов. Эти инструменты помогут найти...
Работа с классами python
Серия контента: Этот контент является частью # из серии # статей: Этот контент является частью серии: Следите за выходом новых...
Adblock detector