Расчет электрических цепей однофазного переменного тока

Расчет электрических цепей однофазного переменного тока

Расчет электрических цепей переменного синусоидального тока производится в комплексной форме. При этом величины синусоидальных ЭДС и токов представляются в виде комплексных амплитуд или комплексных действующих значений, а все элементы в схеме – в виде комплексных сопротивлений.

Например, если ЭДС источника равна , то комплексная амплитуда запишется в виде— в показательной форме записи, или— в алгебраической форме. Комплексное действующее значение синусоидальной ЭДС:— в показательной форме записи, или— в алгебраической форме.

Комплексные сопротивления элементов электрической цепи переменного тока:

— для идеального сопротивления,

— для идеальной индуктивности,

— для идеальной емкости.

Далее расчет электрической цепи переменного тока можно вести любым методом, известным из раздела – «электрические цепи постоянного тока». При этом используется математический аппарат, разработанный для операций с комплексными числами.

Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:

— показательная форма,

— алгебраическая форма,

где и— действительная и мнимая часть комплексного значения синусоидальной величины. Переход от алгебраической формы к показательной осуществляется по формулам:

;.

Переход от показательной формы к тригонометрической осуществляется по формуле Эйлера:

.

Сложение и вычитание комплексных величин производится в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной.

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин, сокращенно их называют комплексными значениями.

Расчет однофазных цепей

Расчет однофазных цепей переменного тока при наличии одного источника синусоидальной ЭДС производится методом эквивалентных преобразований. Рассмотрим пример расчета однофазной цепи приведенной на рис.

Рис. 2.4. Схема электрической цепи к примеру расчета

Пример расчета однофазной цепи

По заданным значениям активных и реактивных сопротивлений и напряжению источника определить токи во всех ветвях схемы и падения напряжения на ее участках. Определить комплекс полной мощности, активную и реактивную мощность. Расчет произвести комплексным методом. Выполнить проверку правильности расчета с использованием баланса активных мощностей схемы. Построить векторную диаграмму. Построить мгновенные значения синусоидальных токов ветвей. Исходные данные для расчета приведены в таблице.

Электрические цепи однофазного переменного тока

Переменным называется электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени.
Область применения переменного тока намного шире, чем постоянного. Это объясняется тем, что напряжение переменного тока можно легко понижать или повышать с помощью трансформатора, практически в любых пределах. Переменный ток легче транспортировать на большие расстояния. Но физические процессы, происходящие в цепях переменного тока, сложнее, чем в цепях постоянного тока из-за наличия переменных магнитных и электрических полей.
Значение переменного тока в рассматриваемый момент времени называют мгновенным значением и обозначают строчной буквой i.
Мгновенный ток называется периодическим, если значения его повторяются через одинаковые промежутки времени

Наименьший промежуток времени, через который значения переменного тока повторяются, называется периодом.
Период T измеряется в секундах. Периодические токи, изменяющиеся по синусоидальному закону, называются синусоидальными.
Мгновенное значение синусоидального тока определяется по формуле

где Im — максимальное, или амплитудное, значение тока.
Аргумент синусоидальной функции называют фазой; величину φ, равную фазе в момент времени t = 0, называют начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах. Величину, обратную периоду, называют частотой. Частота f измеряется в герцах.

В Западном полушарии и в Японии используется переменный ток частотой 60 Гц, в Восточном полушарии — частотой 50 Гц.
Величину называют круговой, или угловой, частотой. Угловая частота измеряется в рад/c.
Если у синусоидальных токов начальные фазы при одинаковых частотах одинаковы, говорят, что эти токи совпадают по фазе. Если неодинаковы по фазе, говорят, что токи сдвинуты по фазе. Сдвиг фаз двух синусоидальных токов измеряется разностью начальных фаз


С помощью осциллографа можно измерить амплитудное значение синусоидального тока или напряжения.
Амперметры и вольтметры электромагнитной системы измеряют действующие значения переменного тока и напряжения.
Действующим значением переменного тока называется среднеквадратичное значение тока за период. Действующее значение тока (для синусоиды )

Читайте также:  Как вкл вспышку при звонке на айфон

.

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжений

.

Действующие значения переменного тока, напряжения, ЭДС меньше максимальных в √2 раз.
Законы Ома и Кирхгофа справедливы для мгновенных значений токов и напряжений.
Закон Ома для мгновенных значений:

. (6.1)

Законы Кирхгофа для мгновенных значений:

. (6.2)

. (6.3)

6.2. Изображения синусоидальных функций времени
в векторной форме

При расчете электрических цепей часто приходится складывать или вычитать величины токов или напряжений, являющиеся синусоидальными функциями времени. Графические построения или тригонометрические преобразования в этом случае могут оказаться слишком громоздкими.
Задача упрощается, если представить наши синусоидальные функции в векторной форме. Имеем синусоидальную функцию . Известно, что проекция отрезка, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью, на любую линию, проведенную в плоскости вращения, изменяется по синусоидальному закону.

Пусть отрезок прямой длиной Im начинает вращаться вокруг оси 0 из положения, когда он образует с горизонтальной осью угол φ, и вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция отрезка на вертикальную ось в начальный момент времени . Когда отрезок повернется на угол α1, проекция его . Откладывая углы α1, α2, . на горизонтальной оси, а проекции отрезка прямой — на вертикальной оси, получим ряд точек синусоиды (рис. 6.1).

Пусть даны два синусоидальных тока: и

.

Нужно сложить эти токи и получить результирующий ток:

Представим синусоидальные токи i1 и i2 в виде двух радиус — векторов, длина которых равна в соответствующем масштабе I1m и I2m. Эти векторы расположены в начальный момент времени под углами φ1 и φ2 относительно горизонтальной оси. Сложим геометрически отрезки I1m и I2m. Получим отрезок, длина которого равна амплитудному значению результирующего тока I3m. Отрезок расположен под углом φ3 относительно горизонтальной оси. Все три отрезка вращаются вокруг оси 0 с постоянной угловой скоростью ω. Проекции отрезков на вертикальную ось изменяются по синусоидальному закону. Будучи остановленными для рассмотрения, данные отрезки образуют векторную диаграмму (рис. 6.2).
Векторная диаграмма — это совокупность векторов, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты.

Необходимо отметить, что напряжение, ток и ЭДС — это скалярные, а не векторные величины.
Мы представляем их на векторной диаграмме в виде не пространственных, а временных радиус — векторов, вращающихся с одинаковой угловой скоростью.
Изображать на векторной диаграмме два вектора, вращающихся с различной угловой скоростью, бессмысленно.

Рис. 6.2
Положительным считается направление вращения векторов против часовой стрелки.
Векторные диаграммы используются для качественного анализа электрических цепей, а также при решении некоторых электротехнических задач.

6.3. Изображение синусоидальных функций времени
в комплексной форме

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.
Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:

где с — модуль комплексного числа;
φ- аргумент;
a — вещественная часть комплексного числа;
b — мнимая часть;
j — мнимая единица, j = √-1.

С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

Комплексное число может быть представлено в виде радиус — вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.6.3).

Умножим комплексное число на множитель .
Радиус — вектор на комплексной плоскости повернется на угол β.
Множитель называется поворотным.

Если , то вектор, умноженный на , превратится во вращающийся со скоростью ω радиус — вектор.
Выражение называется комплексной функцией времени.
Применительно к напряжению, получим — комплексную функцию времени для напряжения.
— комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости). Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.

Читайте также:  Стать программистом в 40 лет с нуля

Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.

Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку.
Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.

Пример.

Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.

Амплитуда результирующего тока , начальная фаза — .

Мгновенное значение результирующего тока

.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:

— закон Ома; (6.4)

— первый закон Кирхгофа; (6.5)

— второй закон Кирхгофа. (6.6)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9994 — | 7761 — или читать все.

Электрические цепи однофазного переменного тока

Переменным называется электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени.
Область применения переменного тока намного шире, чем постоянного. Это объясняется тем, что напряжение переменного тока можно легко понижать или повышать с помощью трансформатора, практически в любых пределах. Переменный ток легче транспортировать на большие расстояния. Но физические процессы, происходящие в цепях переменного тока, сложнее, чем в цепях постоянного тока из-за наличия переменных магнитных и электрических полей.
Значение переменного тока в рассматриваемый момент времени называют мгновенным значением и обозначают строчной буквой i.
Мгновенный ток называется периодическим, если значения его повторяются через одинаковые промежутки времени

Наименьший промежуток времени, через который значения переменного тока повторяются, называется периодом.
Период T измеряется в секундах. Периодические токи, изменяющиеся по синусоидальному закону, называются синусоидальными.
Мгновенное значение синусоидального тока определяется по формуле

где Im — максимальное, или амплитудное, значение тока.
Аргумент синусоидальной функции называют фазой; величину φ, равную фазе в момент времени t = 0, называют начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах. Величину, обратную периоду, называют частотой. Частота f измеряется в герцах.

В Западном полушарии и в Японии используется переменный ток частотой 60 Гц, в Восточном полушарии — частотой 50 Гц.
Величину называют круговой, или угловой, частотой. Угловая частота измеряется в рад/c.
Если у синусоидальных токов начальные фазы при одинаковых частотах одинаковы, говорят, что эти токи совпадают по фазе. Если неодинаковы по фазе, говорят, что токи сдвинуты по фазе. Сдвиг фаз двух синусоидальных токов измеряется разностью начальных фаз


С помощью осциллографа можно измерить амплитудное значение синусоидального тока или напряжения.
Амперметры и вольтметры электромагнитной системы измеряют действующие значения переменного тока и напряжения.
Действующим значением переменного тока называется среднеквадратичное значение тока за период. Действующее значение тока (для синусоиды )

.

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжений

.

Действующие значения переменного тока, напряжения, ЭДС меньше максимальных в √2 раз.
Законы Ома и Кирхгофа справедливы для мгновенных значений токов и напряжений.
Закон Ома для мгновенных значений:

. (6.1)

Законы Кирхгофа для мгновенных значений:

. (6.2)

. (6.3)

6.2. Изображения синусоидальных функций времени
в векторной форме

При расчете электрических цепей часто приходится складывать или вычитать величины токов или напряжений, являющиеся синусоидальными функциями времени. Графические построения или тригонометрические преобразования в этом случае могут оказаться слишком громоздкими.
Задача упрощается, если представить наши синусоидальные функции в векторной форме. Имеем синусоидальную функцию . Известно, что проекция отрезка, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью, на любую линию, проведенную в плоскости вращения, изменяется по синусоидальному закону.

Пусть отрезок прямой длиной Im начинает вращаться вокруг оси 0 из положения, когда он образует с горизонтальной осью угол φ, и вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция отрезка на вертикальную ось в начальный момент времени . Когда отрезок повернется на угол α1, проекция его . Откладывая углы α1, α2, . на горизонтальной оси, а проекции отрезка прямой — на вертикальной оси, получим ряд точек синусоиды (рис. 6.1).

Читайте также:  Мужчина 43 года фото

Пусть даны два синусоидальных тока: и

.

Нужно сложить эти токи и получить результирующий ток:

Представим синусоидальные токи i1 и i2 в виде двух радиус — векторов, длина которых равна в соответствующем масштабе I1m и I2m. Эти векторы расположены в начальный момент времени под углами φ1 и φ2 относительно горизонтальной оси. Сложим геометрически отрезки I1m и I2m. Получим отрезок, длина которого равна амплитудному значению результирующего тока I3m. Отрезок расположен под углом φ3 относительно горизонтальной оси. Все три отрезка вращаются вокруг оси 0 с постоянной угловой скоростью ω. Проекции отрезков на вертикальную ось изменяются по синусоидальному закону. Будучи остановленными для рассмотрения, данные отрезки образуют векторную диаграмму (рис. 6.2).
Векторная диаграмма — это совокупность векторов, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты.

Необходимо отметить, что напряжение, ток и ЭДС — это скалярные, а не векторные величины.
Мы представляем их на векторной диаграмме в виде не пространственных, а временных радиус — векторов, вращающихся с одинаковой угловой скоростью.
Изображать на векторной диаграмме два вектора, вращающихся с различной угловой скоростью, бессмысленно.

Рис. 6.2
Положительным считается направление вращения векторов против часовой стрелки.
Векторные диаграммы используются для качественного анализа электрических цепей, а также при решении некоторых электротехнических задач.

6.3. Изображение синусоидальных функций времени
в комплексной форме

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.
Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:

где с — модуль комплексного числа;
φ- аргумент;
a — вещественная часть комплексного числа;
b — мнимая часть;
j — мнимая единица, j = √-1.

С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

Комплексное число может быть представлено в виде радиус — вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.6.3).

Умножим комплексное число на множитель .
Радиус — вектор на комплексной плоскости повернется на угол β.
Множитель называется поворотным.

Если , то вектор, умноженный на , превратится во вращающийся со скоростью ω радиус — вектор.
Выражение называется комплексной функцией времени.
Применительно к напряжению, получим — комплексную функцию времени для напряжения.
— комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости). Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.

Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.

Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку.
Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.

Пример.

Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.

Амплитуда результирующего тока , начальная фаза — .

Мгновенное значение результирующего тока

.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:

— закон Ома; (6.4)

— первый закон Кирхгофа; (6.5)

— второй закон Кирхгофа. (6.6)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 10405 — | 8024 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Работа с far manager
Фар менеджер - один из самых удобных файловых менеджеров, рассчитанный на работу с файлами и папками на дисках, прежде всего,...
Программы для поиска транспорта
Грузы Широкие возможности фильтров позволяют найти точно подходящую для вашего транспорта загрузку. Несколько тысяч свежих предложений. Каждый сможет найти себе...
Программы для полной очистки жесткого диска
Подборка программ, которые помогут очистить жёсткий диск Windows компьютера и его съёмные устройства от ненужных файлов. Эти инструменты помогут найти...
Работа с классами python
Серия контента: Этот контент является частью # из серии # статей: Этот контент является частью серии: Следите за выходом новых...
Adblock detector