Пусть abc три произвольных события

Пусть abc три произвольных события

Планы семинарских и практических занятий. Ли-
тература .

Задания для самостоятельной работы .

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УО «Белорусский государственный экономический университет»

Л.С. Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Издание третье, переработанное и дополненное

Минск 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………. ……………….
1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями ……………….….
2. Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей .
3. Геометрические вероятности …………. …….
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
5. Формула полной вероятности и формула Байеса
6. Повторные независимые испытания (схема Бер­нулли) ……. …………..
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ …. ……………….
7. Дискретная случайная величина ………. ….
8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности ……. ….
9. Закон больших чисел …………. …………….
10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов …….
ПРИЛОЖЕНИЯ …………………………………….
ЛИТЕРАТУРА ……………………………………….

ВЕРОЯТНОСТЬ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Пространство элементарных событий.
Операции над случайными событиями

В основе теории вероятностей лежит понятие случайного эксперимента. Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя предсказать, каким именно.

Примеры случайного эксперимента: бросание монеты, игральной кости, проведение лотереи, азартные игры, стрельба по цели, поступление звонков на телефонную станцию и т.п.

Различные результаты эксперимента называют исходами.

Определение 1.Множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента называется пространством элементарных событий. Взаимоисключа­ющие исходы — это те, которые не могут наступить одновременно.

Пространство элементарных событий будем обозначать буквой Ω, а его исходы — буквой ω.

Определение 2. Произвольное подмножество пространства элементарных событий называется событием. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, а также из счетного или несчетного числа элементарных событий.

Событие Ω, состоящее из всех исходов эксперимента, называется достоверным событием. Оно обязательно происходит, так как эксперимент всегда заканчивается каким-нибудь исходом.

Пустое множество исходов эксперимента называетсяневозможным событием и обозначается символом ø.

Определение 3. Суммой двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в А, либо в В. Другими словами, под понимают следующее событие: произошло или событие А, или событие В, либо они произошли одновременно, т.е. произошло хотя бы одно из событий А или В (рис. 1.1а).

Определение 4. Произведением двух событий А и В (обозначается АВ) называется событие, состоящее из тех исходов, которые входят как в А, так и в В. Иными словами, АВ означает событие, при котором события А и В наступают одновременно (рис. 1.1б).

Читайте также:  Почему на ноутбуке не работают цифры справа

Определение 5. Разностью двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

Смысл события состоит в том, что событие А наступает, но при этом не наступает событие В (рис. 1.1в).

Определение 6.Противоположным(дополнительным) для события А (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в А. Наступление события означает просто, что событие А не наступило.

Если события изобразить на плоскости, то результат определенных операций над событиями выглядит следующим образом:

Определение 7. События А и В называются несовместимыми, если нет исходов, входящих как в А, так и в В, т.е. АВ = ø.

Определение 8. Говорят, что событие А содержится в событии В (обозначается ), если все исходы события А входят в событие В.

Свойства операций над событиями

1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ø;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) .

Пример 1.1.Два шахматиста играют подряд две партии. Под исходом опыта будем понимать выигрыш одного из них в i-й партии или ничью. Построить пространство элементарных исходов.

Решение.Обозначим события — в i-й партии выиграл первый игрок, — второй, С — ничья. Тогда возможные исходы игры:

1. Обе партии выиграл первый игрок .

2. Обе партии выиграл второй игрок .

3. Обе партии закончились вничью .

4. В первой партии выиграл первый игрок, во второй — второй .

5. В первой выиграл первый игрок, во второй — ничья .

6. В первой партии победа второго игрока, во второй — первого .

7. В первой — победа второго игрока, во второй — ничья .

8. В первой — ничья, во второй — победа первого игрока .

9. В первой — ничья, во второй — победа второго игрока .

Ответ: = , , , , , , , , .

Пример 1.2.Пусть А, В, С — три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:

1. Произошло только А.

2. Произошло А и В, но С не произошло.

3. Все три события произошли.

4. Произошло, по крайней мере, одно из событий.

5. Произошли, по крайней мере, два события.

6. Произошло одно и только одно событие.

7. Произошли два и только два события.

8. Ни одно событие не произошло.

Читайте также:  Все про айфон 8 плюс

9. Произошло не более двух событий.

Решение.

1. Обозначим и , что события В и С не произошли, тогда событие: произошло только А можно записать в виде .

2.

3.

4. Событие произошло, по крайней мере, одно из событий можно представить как сумму этих событий: А + В + С.

5. Произошли, по крайней мере, два события — это сумма АВ + АС + ВС.

6. Произошло одно и только одно событие — это сумма событий

7. Произошли два и только два события — можно записать в виде , или АВ + АС + ВС – АВС.

8.

9. , т.е. три события одновременно не произошли.

Пример 1.3.События А, В и С означают, что взято хотя бы по одной книге из трех различных собраний сочинений, каждое из которых содержит по крайней мере три тома. События и означают соответственно, что из первого собрания сочинений взяты s, а из второго k томов. Что означают события: а) А +
+ В + С
; б) АВС; в) ; г) ; д) ?

| следующая лекция ==>
Задача 7. Педагогической психологией доказано, что большое значение для утверждения авторитета учителя имеет его внутренняя позиция по отношению к учащимся |

Дата добавления: 2014-11-10 ; просмотров: 3851 . Нарушение авторских прав

Пример. Пусть А, В, С — три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:
1. Произошло только А.
2. Произошло А и В, но С не произошло.
3. Все три события произошли.
4. Произошло, по крайней мере, одно из событий.
5. Произошли, по крайней мере, два события.
6. Произошло одно и только одно событие.
7. Произошли два и только два события.
8. Ни одно событие не произошло.
9. Произошло не более двух событий.

Суммой (объединением) двух событий A и B называют событие, в результате которого произойдет хотя бы одно из событий A или B. Эту операцию обозначают A+B или AB.

Если события изображать множеством точек на плоскости, то результат сложения двух событий выглядит следующим образом:

Произведением (пересечением) двух событий A и B называют событие, в результате которого произойдут оба события A и B. Эту операцию обозначают AB или AB.

Пример 2: Рассмотрим пример 1. AB=

Разностью двух событий A и B называют событие, в результате которого событие A произойдет, а событие B не произойдет. Эту операцию обозначают AB или A/B.

Противоположным событием по отношению к событию A, называют событие , состоящее в не появлении A.

Читайте также:  Как скинуть номера с телефона на телефон

Пример 4: Рассмотрим пример 1. =<выпадение 4, 5 или 6 очков>, =<выпадение нечетного числа очков>.

Пример 5: На плоскости произвольным образом рисуется точка. События A=<точка попала в круг A>, B=<точка попала в круг B>. Какой смысл имеют события , , A+B, AB, ?

=

=

=

Пример 6: Из таблицы чисел взято одно число. Событие A=<выбранное число кратно 5>, B=<данное число оканчивается нулем>. Что означает события AB и A?

Решение: Число кратное 5 должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Тогда

=

A=<данное число оканчивается на цифру 5>. Т.е. A-B и A одно и то же событие.

Пример 7: Пусть A, B и C – три произвольных события. Записать выражение для заданных событий:

Произошло только событие A

Произошли все три события

Произошло, по крайней мере, одно из событий

Произошло, по крайней мере, два события

Произошло одно и только одно событие

Не произошло ни одного события

Произошло не более двух событий

Решение: Ответим последовательно на все 7 вопросов:

или A-B-C

или

Пример 8: Бросаются две игральные кости (кубика). События A=<сумма очков равна 5>, B=<хотя бы на одной из костей выпала единица>. Описать события AB и .

Решение: Запишем все исходы составляющие события A и B: A=<1:4; 2:3; 3:2; 4:1>, B=<1:i; i:1> (i=1,2,3,4,5,6). AB=<1:4; 4:1>=<на одной из костей выпала единица, на другой четверка>. =<ни на одной из костей не выпала единица>,=<2:3; 3:2>=>=<на одной из костей выпала двойка, на другой тройка>.

Пример 9: Цепь состоит из системы контактов. Событие Аi=<контакт Кi замкнут (i=1;2;3;4)>. Записать события: а) цепь замкнута; б) цепь разомкнута.

а)

б)

Событие называется невозможным, если в результате случайного эксперимента оно не произойдет ни при каких обстоятельствах. Обозначается символом .

Пример невозможного события – выпадение двух и четырех очков при одном броске игральной кости.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно произойдет. Обозначается символом .

Пример достоверного события – выпадение любого из шести очков при одном броске игральной кости.

Свойства операций над событиями:

1) A+B=B+A; 2) AB=BA; 3) ; 4)A=A; 5) ; 6) ; 7); 8)(A+B)C=AC+BC; 9) ; 10).

Свойства 1)-7) непосредственно следуют из определения операций над событиями.

Покажем свойство 8). Удобно использовать графический метод, так называемые диаграммы Эйлера. События представляются как множество точек на плоскости. Нужно показать, что множество левой части равенства совпадает с множеством правой части.

Ссылка на основную публикацию
Программы для поиска транспорта
Грузы Широкие возможности фильтров позволяют найти точно подходящую для вашего транспорта загрузку. Несколько тысяч свежих предложений. Каждый сможет найти себе...
Программа для отформатировать флешку
Процесс форматирования флешки мало отличается от форматирования HDD или SSD-дисков. Далее мы рассмотрим лучшие программы для форматирования флешек (такие как...
Программа для оцифровки винила
Каталог продаваемых пластинок (49230) Минимальные аппаратные требования, или что надо иметь для оцифровки Компьютер со звуковой картой. Проигрыватель винила Корректор...
Программы для полной очистки жесткого диска
Подборка программ, которые помогут очистить жёсткий диск Windows компьютера и его съёмные устройства от ненужных файлов. Эти инструменты помогут найти...
Adblock detector