Прямые и плоскости в пространстве решение задач

Прямые и плоскости в пространстве решение задач

Пример 1. Составить уравнение плоскости , проходящей через заданную точку (2,1,-1) и параллельной плоскости .

Решение. Нормаль к плоскости : . Поскольку плоскости параллельны, то нормаль является и нормалью к искомой плоскости . Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (3), получим для плоскости уравнение:

Ответ:

Пример 2. Основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость , является точка . Найти уравнение плоскости .

Решение. Вектор является нормалью к плоскости . Точка М принадлежит плоскости. Можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через заданную точку (3):

Ответ:

Пример 3. Построить плоскость , проходящую через точки и перпендикулярную плоскости : .

Следовательно, чтобы некоторая точка М (x, y, z) принадлежала плоскости , необходимо, чтобы три вектора были компланарны:

=0.

Осталось раскрыть определитель и привести полученное выражение к виду общего уравнения (1).

Пример 4. Плоскость задана общим уравнением:

.

Найти отклонение точки от заданной плоскости.

Решение. Приведем уравнение плоскости к нормальному виду.

,

.

Подставим в полученное нормальное уравнение координаты точки М*.

.

Ответ: .

Пример 5. Пересекает ли плоскость отрезок .

Решение. Чтобы отрезок АВ пересекал плоскость, отклонения и от плоскости должны иметь разные знаки:

.

Пример 6. Пересечение трех плоскостей в одной точке.

.

Система имеет единственное решение, следовательно, три плоскости имеют одну общую точку.

Пример 7. Нахождение биссектрис двугранного угла, образованного двумя заданными плоскостями.

Пусть и — отклонение некоторой точки от первой и второй плоскостей.

На одной из биссектральных плоскостей (отвечающей тому углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны по модулю и знаку, а на другой – равны по модулю и противоположны по знаку.

1)

— это уравнение первой биссектральной плоскости.

2)

— это уравнение второй биссектральной плоскости.

Пример 8. Определение местоположения двух данных точек и относительно двугранных углов, образованных данными плоскостями.

Пусть . Определить: в одном, в смежных или в вертикальных углах находятся точки и .

1) Находим и , и — это отклонения точек А и В от плоскостей и .

а). Если и лежат по одну сторону от и от , то они лежат в одном двугранном углу.

б). Если и лежат по одну сторону от и по разные от , то они лежат в смежных углах.

в). Если и лежат по разные стороны от и , то они лежат в вертикальных углах.

Линии в пространстве. Прямая в пространстве. 2

Канонические уравнения прямой в пространстве. 3

Параметрические уравнения прямой. 4

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. 4

Угол между двумя прямыми в пространстве. 5

Угол между прямой и плоскостью.. 5

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. 6

Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей. 6

Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия». 11


Линии в пространстве. Прямая в пространстве

В аналитической геометрии каждая линия рассматривается как пересечение двух поверхностей и соответственно определяется заданием двух уравнений.

Читайте также:  Стиральная машина candy smart touch инструкция

Система уравнений определяет линию, являющуюся их пересечением.

Следовательно, прямую можно задать системой двух уравнений плоскостей:

(1)

Это возможно только в том случае, когда плоскости не совпадают и не параллельны, т.е. когда нормали 1= и 2= не коллинеарны.

Система (1) – это общее уравнение прямой в пространстве.

Через каждую прямую проходит бесконечное множество плоскостей (пучок плоскостей).

Определение. Cовокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей с центром в L.

Умножим уравнения системы (1) соответственно на коэффициенты и , одновременно не равные нулю.

– уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

(Докажите самостоятельно аналогично доказательству для пучка прямых)

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку , называется связкой плоскостей с центром в точке M.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 11177 — | 7529 — или читать все.

Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости»

1) закрепить теоретический материал;

2) закрепить навык применения изученных теорем при решении задач;

3) воспитывать интерес к геометрии.

I. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока.

II . Проверка домашнего задания

Решение задач № 19, 21 подготовить на доске (2 ученика).

Решение задачи № 18 ( a ) — один из учащихся комментирует решение.

III . Актуализация знаний учащихся. Подготовить у доски доказательство теорем:

1 – о параллельных прямых;

2 – о параллельности трех прямых;

3 – о параллельности прямой и плоскости.

1) Какие прямые в пространстве называются параллельными?

2) Всегда ли через две параллельные прямые можно провести — плоскость? А через две пересекающиеся прямые? (Да, да.)

3) В пространстве дано число n параллельных между собой прямых. Известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти прямые? (Число n плоскостей.)

4) Сформулируйте лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.

5) Каково может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?

6) В каком случае прямая параллельна плоскости?

IV. Решение задач

1) Решение у доски с записью в тетрадях

Дано: A ∈ α, В ∈ α, С ∈ α; AM = МС; BN = NC .

Доказательство: MN || АВ (по свойству средней линии), АВ ∈ α; MN || α по признаку.

Перед решением задачи № 26 дать понятие отрезка, параллельного плоскости.

«Отрезок параллелен плоскости, если прямая, содержащая этот отрезок, параллельна плоскости».

Дано: АС || α, АВ ∩ α = М; СВ ∩ α = N (рис. 1).

1. Докажем, что AC || MN ;

(по определению).

2. Так как АС || MN ⇒ ΔАВС

2) Самостоятельное решение задач по уровням

Отрезок АВ не пересекает плоскость α. Через середину отрезка С и концы отрезка А и В проведены прямые, параллельные между собой и пересекающие плоскость α в точках А1, В1, С1.

Читайте также:  Как спать в сталкер тень чернобыля

Вычислить длину отрезка СС1, если АА1 = 5, BB 1 = 7.

Дано: АА1 = 5 см, ВВ1 = 7 см (рис. 2).

1. Докажем, что A 1, С1 и В1 лежат на одной прямой. (АА1, ВВ1) = β, β ∩ а = А1В1. Докажем, что С1 ∈ А1В1.

2. Пусть С1 ∈ А1В1, тогда CC 1 ∩ β = c , с — прямая пересечения; по лемме АА1 ∩ β. Получили противоречие, значит, С1 ∈ А1В1.

3. Так как А1А || ВВ1, значит, А1АВВ1 — трапеция, СС1 — средняя линия (Ответ: 6 см.)

Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью α в точке В. Через А и М проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках А1 и M 1.

а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой.

б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, AM = 6.

Дано: (рис. 3).

Докажите: М1 ∈ А1В.

1. Предположим, М1 ∈ А1В, тогда значит, что противоречит условию.

2.

(Ответ: 12 см.)

V. Подведение итогов

I уровень: № 24, 28.

II уровень: № 31, дополнительная задача № 1.

Дано: ABCD — трапеция М ∉ ( ABC ) (рис. 4).

Доказать: AD || (ВМС).

Доказательство: AD || ВС (по определению трапеции); ВС ∈ (ВМС), значит AD || (ВМС) по признаку.

Дано: D ∈ AB , Е ∈ AC , DE = 5; (рис. 5).

1)

2) по определению.

Δ ADE (по двум углам)

(Ответ: )

Дано: α || ВС, АК = ВК, К ∈ α (рис. 6).

Доказать: α ∩ АС = М; АМ = СМ.

Дан ΔМКР. Плоскость, параллельная прямой МК, пересекает МР в точке М1, РК — в точке К1. Найдите М1К1, если МР : М1Р = 12 : 5, МК = 18 см.

Дано: (рис. 7).

1.

ΔМ1РК1 (по двум углам).

(Ответ: 7,5 см.)

—> —>

Автор

Дата добавления

Раздел

Подраздел

Просмотров

Номер материала

Аяпова Динара Елемесовна
27.01.2017
Геометрия
Конспект урока
25918
2122

© 2020 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Читайте также:  Динамик для домашнего сабвуфера

1.Разные виды уравнений и переходы от одного к другому виду.

2.Расстояние от точки до плоскости.

3.Угол между плоскостями (и взаимное расположение плоскостей).

4.Точка пересечения плоскостей.

5.Пучок плоскостей и др. более сложные задачи.

Комментарий. Следует запомнить жестко наиболее простую для аналитической геометрии ситуацию : для поиска уравнения плоскости следует указать точку, через которую плоскость проходит, и вектор, нормальный плоскости.

Прямую линию в пространстве в аналитической геометрии задают в виде пересечения двух плоскостей или .

Можно того же результата добиться, задав прямую проходящей через две заданные точки Мо(хоо ,zо) и М111;z1). Тогда из условий параллельности (коллинеарности) векторов ММо и МоМ1 получим . Если же обозначить вектор МоМ1= (m;n;p), то получим канонические уравнения прямой в пространстве . В последних двух способах задания прямой в пространстве “потеряны” уравнения двух плоскостей. Комментарием к этому может служить такое указание – мы имеем равенство трех отношений. Так что , фактически, мы имеет даже три плоскости вместо двух (если сравнивать по два разных отношения, то всегда получится уравнение первого порядка в пространстве – уравнение плоскости). Особенностями этих плоскостей будет следующее – каждая из них является проектирующей данную прямую на некоторую координатную плоскость (в каждом уравнении плоскости только две переменные – значит плоскость перпендикулярна координатной плоскости).

Важно уметь делать переход от одного вида уравнения к другому и понимать смысл этих математических действий в геометрии.

Пример 6.2. Найти, если таковая имеется, точку пересечения трех плоскостей

Решение. Сразу видно, что ранг основной и расширен ной матрицы не больше 3 и не меньше 2. Для уточнения вычислим ==0.

Для расширенной матрицы имеем =0.

Система противоречива – точки пересечения нет. Геометрически это говорит в данном случае о такой ситуации: параллельных плоскостей нет; следовательно плоскости попарно пересекаются и образуют подобие треугольной призмы.

При взаимном расположении прямой и плоскости следует учитывать, что: плоскость характеризуется нормалью и точкой Мо(хоо ,zо) на плоскости, а прямая – направляющим вектором (m;n;p) и точкой М111;z1) на прямой .

Так, если плоскость параллельна прямой , то имеем всегда =0, а если плоскость перпендикулярна прямой, то всегда коллинеарен. Если требуется найти точку пересечения прямой и плоскости, то систему

можно (и даже лучше) решать так: последнее отношение приравнять параметру t; затем выразить через параметр переменные x,y,z (x=mt+ хо, e=nt+yо, z=pt+zо; затем найденное подставить в уравнение плоскости и найти значение параметра t для точки пересечения; после этого вычислить координаты точки пересечения через значение параметра.

Дата добавления: 2014-10-23 ; Просмотров: 804 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Ссылка на основную публикацию
Программы для поиска транспорта
Грузы Широкие возможности фильтров позволяют найти точно подходящую для вашего транспорта загрузку. Несколько тысяч свежих предложений. Каждый сможет найти себе...
Программа для отформатировать флешку
Процесс форматирования флешки мало отличается от форматирования HDD или SSD-дисков. Далее мы рассмотрим лучшие программы для форматирования флешек (такие как...
Программа для оцифровки винила
Каталог продаваемых пластинок (49230) Минимальные аппаратные требования, или что надо иметь для оцифровки Компьютер со звуковой картой. Проигрыватель винила Корректор...
Программы для полной очистки жесткого диска
Подборка программ, которые помогут очистить жёсткий диск Windows компьютера и его съёмные устройства от ненужных файлов. Эти инструменты помогут найти...
Adblock detector