Признаки деления на 11 с примерами

Признаки деления на 11 с примерами

Делимость на 11 зависит от соотношения сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местах в записи числа.

Признак делимости на 11

Натуральное число делится без остатка на 11, если сумма цифр, стоящих в записи числа на чётных местах:

— равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах;

— отличается от неё на 11.

Например, для шестизначного числа признак делимости на 11 схематично выглядит так:

Определить, какие из чисел делятся на 11:

572; 415; 2673; 6395; 1529; 88132; 70811; 717541; 619109.

572 делится на 11, так как сумма цифр, стоящих на нечетных местах 5+2, равна числу 7, стоящему на чётном месте.

415 не делится на 11, так как сумма цифр 4+5=9, стоящих на нечётных местах, не равна числу 1, стоящему на чётном месте, и 1=(4+5)-8.

2673 делится на 11, потому что сумма цифр 6+3=9, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр 2+7=9, стоящих на нечётных местах.

6395 не делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 3+5=8. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 6+9=15. Суммы отличаются на 7.

1529 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 1+2=3. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 5+9=14. Суммы отличаются на 11: 1+2=(5+9)-11.

88132 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 8+3=11. Равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, 8+1+2=11.

70811 не делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 0+1=1. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 7+8+1=16. Суммы отличаются на 15.

717541 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 1+5+1=7. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 7+7+4=18. Суммы отличаются на 11: (7+7+4)=(1+5+1)+11.

Читайте также:  Коньяк тбилисоба 5 лет отзывы

Этот же признак делимости на 11 после изучения отрицательных чисел можно сформулировать иначе.

Если сумма цифр числа, взятых с чередующимися знаками, делится на 11, то и само число делится на 11.

Например, для шестизначного числа делимость на 11 в этом случае схематично можно изобразить так:

Для чисел из примера выше проверка делимости на 11, соответственно, выглядит так:

5-7+2=0. 0 делится на 11, значит, 572 также делится на 11.

4-1+5=8. 8 не делится на 11, поэтому 415 не делится на 11.

2-6+7-3=0. Так как 0 делится на 11, то и 2673 делится на 11.

6-3+9-5=7. 7 не делится на 11, следовательно, и 6395 не делится на 11.

1-5+2-9=-11. Поскольку -11 делится на 11, 1529 также делится на 11.

Изучаем математику вместе!

Всего существует три важных признака делимости на 11.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Этот признак является наиболее простым и удобным. К тому же его проще всего запомнить.

Решение: а) 1234321. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите — возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся на 11. Ответ: делится.

б) 10101. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3. Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не делится.

Для формулировки оставшихся двух признаков делимости на 11 введём такое определение:

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

Читайте также:  Сброс настроек на планшете oysters

Решение: а) применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа 1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001 делится на 11.

б) применим 3-й признак делимости на 11. Разбиваем число 1002001 на трёхзначные грани: 1|002|001. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11. Поэтому 1002001 делится на 11.

Доказательство этих признаков строится на представлении чисел в десятичной системе счисления. Подробное доказательство приведено в этой статье.

Существует и другие признаки делимости кроме перечисленных, но они на порядок сложнее. Для тех, кому интересно, приводим пример признака делимости на 11 .

Признак делимости на 11

Число делится на 11 , если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11 .

В самом деле признак делимости на 11 очень интересен, попробуем разобраться на примере:

  • Проверим, делится ли 671 на 11 .

Итак, цифры которые стоят на нечетных местах — это 6 (стоит на первом месте) и 1 (стоит на третьем месте). Цифра, которая стоит на четном месте, это 7 (стоит на втором месте). 6 + 1 = 7 . Сумма цифр стоящих на нечетном месте равна сумме цифр на четном месте, значит 671 делится на 11 .

  • Проверим делится ли 3905 на 11 .

Цифры которые стоят на нечетных местах — это 3 (стоит на первом месте) и 0 (стоит на третьем месте). Цифры, которые стоят на четном месте это 9 (стоит на втором месте) и 5 (стоит на четвертом месте).

Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, не равна сумме цифр на четном месте, но суммы цифр отличаются ровно на 11 , т.к. 14 − 3 = 11 . Значит 3905 делится на 11 .

Читайте также:  Ремонт индукционной плиты kitfort

Уточнение для признака делимости на 11

На самом деле, правило, описанное выше — это упрощенная версия полного признака делимости на 11 . В большинстве случаев при решении задач школьного курса математики его достаточно.

Но если быть точным, признак делимости звучит следующим образом.

Число делится на 11 , если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, которое делится на 11 .

Разберемся на примере.

  • Проверим, делится ли число 90 904 на 11 без остатка.
  1. Вычислим сумму цифр на нечетных местах:
Ссылка на основную публикацию
Почему телефон ночью быстро разряжается
Если телефон стал быстро разряжаться, это еще не значит, что виновата батарея. В 70% случаев пользователь сам настроил устройство таким...
Почему имя пользователя недоступно в инстаграме
Как быть, если такое имя пользователя Instagram уже занято, но соответствующий ему аккаунт кажется неактивным? Если имя пользователя, которое вы...
Почему индукционная плита щелкает
Если индукционная плита щелкает при работе, рекомендуется ознакомиться с особенностями работы техники. При уверенности, что устройство вышло из строя, не...
Почему телефон самостоятельно перезагружается
Постоянная и не запланированная перезагрузка смартфона на Android – раздражающая ошибка. Она порождает плохое настроение и желание расстаться с гаджетом....
Adblock detector