От чего зависит период крутильных колебаний

От чего зависит период крутильных колебаний

При вращательном движении твердого тела его мерой инерции является момент инерции относительно оси вращения. Для тел простой формы: диск, цилиндр, шар, стержень, момент инерции можно сравнительно просто рассчитать. Для более сложных тел можно использовать экспериментальные методы определения моментов инерции. Одним из них является метод крутильных колебаний.

Тело, подвешенное на отрезке упругого стального провода, может совершать гармонические колебания относительно оси, проходящей через центр инерции тела. Запишем уравнение динамики вращательного движения для него:

Где J — момент инерции тела, — угол поворота, отсчитанный относительно положения равновесия, M —момент силы, создаваемый упругим подвесом’. При небольших углах закручивания момент силы пропорционален углу поворота:

(5.2)

где D — постоянная подвеса, зависящая от упругих свойств материала, диаметра и длины провода.

С учетом формулы (5.2) основное уравнение динамики вращательного движения приобретет вид:

(5.3)

Перенося все слагаемые в левую часть и поделив на момент инерции, получим соотношение, которое называют уравнением гармонического осциллятора:

(5.4)

Используя известную связь между циклической частотой и периодом, получим формулу для периода крутильных колебаний

(5.5)

Если известна постоянная подвеса D, то используя формулу (5.5) можно определить момент инерции тела J. Однако, не всегда можно рассчитать постоянную подвеса D. Поэтому уравнение (5.5) можно использовать для определения постоянной подвеса для этого необходимо экспериментально определить период колебаний Т1. тела с неизвестным моментом J1.

(5.6)

Затем к телу с неизвестным моментом инерции присоединить тело с известным моментом инерции, например, сплошной однородный цилиндр,

момент инерции которого равен . Период колебаний такого составленного тела также надо определить экспериментально

(5.7)

Два уравнения (5.6) и (5.7) можно использовать для нахождения постоянной подвеса D и момента инерции . Этот же прием можно применить далее для определения момента инерции тела сложной формы:

(5.7)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9866 — | 7664 — или читать все.

Цель работы: познакомиться с экспериментальными методами оп­ределения моментов инерции твердых тел, проверка теоремы Штейнера-Гюйгенса.

Вопросы для допуска к работе:

1. Что называется моментом инерции твердого тела? Еди­ницы измерения. От чего зависит величина момента инерции?

2. Крутильные колебания. Период крутильных колебаний.

3. Что необходимо знать, чтобы определить момент инер­ции тела методом крутильных колебаний?

4. В чем состоит идея определения момента инерции тела относительным методом при использовании крутильного маятника?

5. Расскажите порядок выполнения работы

Краткая теория вопроса:

Экспериментально момент инерции тела можно определить различными методами. Чаще всего для его определения используют крутильные маятники. Это связано с тем, что период колебаний крутильного маятника зависит от момента инерции и определяется вы­ражением

[1]

где «c» — коэффициент, зависящий от параметров установки, «J» -момент инерции относительно оси, совпадающей с центром масс те­ла.

В общем случае крутильный маятник представляет собой твердое тело, подвешенное на упругом подвесе. Из формулы периода крутильных колебаний следует, что для определения момента инерции тела, необходимо знать период и постоянную «с».

Читайте также:  Вкладка в интернете что это

[2]

Если постоянная крутильного маятника неизвестна, то при опреде­лении момента инерции ее можно исключить. Это можно сделать двумя способами:

а) измеряют периоды крутильных колебаний двух тел, подвешенных на один и тот же подвес. При этом момент инерции одного из тел известен. При этом момент инерции тела вычисляют по формуле:

[3]

б) момент инерции тела можно определить, воспользовавшись свойством аддитивности момента инерции. Для этого сначала определяют период колебания тела с известным моментом инерции, а затем на это тело помещают другое тело, момент инерции которого хотят определить и вновь определяют пери­од колебаний. Данный метод применяется только в том случае, если центры масс тел совпадают. Момент инерции Jx оп­ределяют по формуле:

Задание : Используя крутильный маятник определить момент инерции тела относительным методом.

При выполнении данного задания данного задания используется крутильный маятник, который представляет собой рамку, укрепленную на двух упругих подвесах. Исследуемое и эталонное тело поочередно закрепляются в рамке, и определяются их периоды. Так как рамка сама имеет некоторый момент инерции, то необходимо это учитывать при использовании формулы.

Из формулы периода крутильных колебаний в первом случае определяется суммарный момент инерции рамки и эталонного тела , а во втором – момент инерции рамки и исследуемого тела . Для исключения момента инерции рамки необходимо измерить период колебаний рамки, не изменяя ее параметров. В результате мы получаем систему из трех уравнений:

Решая которую можно вывести формулу для определения момента инерции исследуемого тела (формулу для Ix вывести при подготовке к работе).

Крутильные колебания – это вращательное движение тела, подвешенного на упругой нити (стальной проволоке), вокруг вертикальной оси, выражающееся в его попеременном отклонении в ту и другую сторону от положения равновесия. Силовая величина, характеризующая динамику такого движения, является следствием деформации нити. Деформация – это изменение формы и размеров тела под действием приложенных к нему сил. Если после прекращения действия силы тело принимает первоначальные размеры и форму, то деформация называется упругой. Существует несколько видов деформации тел: растяжение, сжатие,

кручение, сдвиг, изгиб. При этом внутри деформированного тела возникает противодействующая сила, равная по величине деформирующей силе и называемая упругой силой. Величина упругой силы Fупр., возникающей при малых деформациях любого вида, прямо пропорциональна величине деформации x, то есть изменению размеров тела, что в общем виде выражается соотношением:

где k – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом упругости. Соотношение (10) называется законом Гука. Знак минус указывает на противоположные направления упругой силы и величины деформации.

При закручивании нити с подвешенным телом на некоторый угол φ (рис. 1) возникающее в нити противодействие представляет собой момент силы М, значение модуля которого пропорционально углу φ, а направление, как и при любой деформации, противоположно ей, т.е. углу закручивания:

Читайте также:  Таблица в виде картинки

Здесь:D модуль кручения (коэффициент упругости), характеризующий упругие свойства нити.

Для вращательного движения тела второй закон Ньютона записывается в виде:

где J – момент инерции тела, ε = d 2 φ/dt 2 – угловое ускорение, М – суммарный момент сил, в данном случае представляющий собой момент упругой силы, которая возникает при закручивании упругой нити (проволоки) на угол φ. Подставляя в это уравнение выражение для момента упругой силы (11), мы получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее движение тела при крутильных колебаниях:

Решение этого уравнения имеет вид:

где φ – угол поворота тела в момент времени t, φ – максимальный угол поворота тела при колебаниях (амплитуда колебаний), φ o – начальная фаза колебаний, а коэффициент при t, составляющий ω = (D/J) 1/2 , – циклическая (или круговая) частота колебаний. Поскольку, с другой стороны,

циклическая частота колебаний, по определению, равна 2π/T (T – период колебаний), то можно записать равенство:

откуда следует уравнение, связывающее период крутильных колебаний с моментом инерции тела, подвешенного на упругой нити, и модулем кручения нити:

Описание установки и метода измерений:

Для определения моментов инерции твердых тел в работе используется установка, показанная на рис. 2.

На основании 1 расположен электронный блок 2 с миллисекундомером и счетчиком полных колебаний, а также укреплена колонка 3, на которой находятся три кронштейна 4, 5, 6. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы для подвеса рамки на упругих стальных нитях 7. Рамка представляет собой две балки 8, соединенных стержнями 9. На стержнях с помощью цанговых зажимов 10 закрепляется в нужном положении подвижная балка 11,

которая позволяет (путем закручивания винта 12) укреплять в рамке исследуемые тела 13, значительно отличающиеся по внешним размерам. На стальной плите, прикрепленной к кронштейну 5, располагаются соединенные с электронный блоком электромагнит 14 и фотоэлектрический датчик 15, а также угловая шкала (на рисунке не показана), которая служит для задания амплитудного значения угла закручивания.

Работа на установке проводится в следующем порядке:

Закрепить электромагнит в положении, которое соответствует определенному углу закручивания рамки (задается преподавателем).

Если требуется заданием, укрепить в рамке исследуемое тело. Для этого:

а) ослабить зажимы 10;

б) передвигая подвижную балку 11, зажать тело между коническим выступом нижней балки и конусом винта 12, затянуть зажимы 10;

в) окончательно укрепить тело, закручивая винт 12.

Включить питающее напряжение нажатием клавиши "Сеть". При этом должны светиться лампочки фотоэлектрического датчика и индикатора секундомера.

Нажать клавишу "Сброс" для обнуления индикатора секундомера, генерирования сигнала разрешения на измерение и включения обмотки электромагнита.

Повернуть рамку прибора так, чтобы в отклоненном состоянии она была зафиксирована электромагнитом.

Нажать клавишу "Пуск". Нажатие этой клавиши запускает секундомер и отключает электромагнит. Рамка при этом отпускается и начинает совершать крутильные колебания, которые подсчитываются в электронном блоке посредством сигналов, поступающих от фотоэлектрического датчика 15.

Читайте также:  Как в ворде увеличить цифры

После совершения рамкой определенного числа колебаний систему остановить нажатием кнопки "Стоп". Индикаторы электронного блока указывают число N совершенных колебаний и общее время t, за которое они были совершены.

Задание 1. Определение модуля кручения.

При использовании установки крутильных колебаний для определения моментов инерции твердых тел необходимо знать величину модуля кручения D нитей подвеса 7 рамки. Поскольку упругие свойства

материала при кручении зависят от многих факторов, то значение модуля D определяют экспериментально. В настоящей работе используется динамический метод измерения модуля кручения, основанный на зависимости периода Т крутильных колебаний рамки, подвешенного на проволоке, от упругих свойств материала проволоки.

Согласно уравнению (16), период колебаний Т зависит как от модуля кручения D, так и от момента инерции J системы, совершающей колебания. Поэтому измерения проводят с помощью эталонных тел, моменты инерции которых Jт известны, или легко рассчитываются. Система, совершающая колебания, включает в себя эталонное тело и рамку, моментом инерции Jр которой нельзя пренебречь. Так как эталонное тело и рамка совершают вращательное движение вокруг одной и той же оси, то, согласно уравнению (9), их моменты инерции суммируются:

Если выразить момент инерции из уравнения (16), то:

Поскольку момент инерции рамки Jр неизвестен, измерения проводят в два этапа, используя два различных эталонных тела с моментами инерции Jт1 и Jт2. В этом случае мы имеем систему двух уравнений:

Jр + Jт1 = Т1 2 D/(4 2 ) (19а)

Вычитая одно из другого, получаем выражение для модуля кручения, не содержащее неизвестных (или не определяемых в эксперименте) параметров:

Измерения проводятся следующим образом:

Взять первое эталонное тело – один из двух дисков. Измерить штангенциркулем его толщину l и диаметр. Получить значение радиуса диска r. Взвесить диск на технических весах, или принять известное

значение его массы m (может быть указано на диске или на установке). По формуле (4) рассчитать момент инерции диска Jт1 и занести это значение в таблицу 1.

Провести операции согласно пунктам 1-7 порядка работы на установке (см. раздел «Описание установки и метода измерений»). Полученные значения N и t для первого тела занести в таблицу 1.

Еще два раза определить N и t (операции по пунктам 4-7 порядка работы на установке) и занести их в те же колонки.

Рассчитать значения периодов колебаний T1 как отношение t/N и их среднее значение T1ср. Занести их в таблицу 1.

Повторить предыдущие операции (1-4) для другого диска, занося значения Jт2, N, t, T2 и T2ср в таблицу 1 ("Второе тело").

Используя полученные значения Jт1 , Jт2 , Т1 и Т2 , по формуле (20) рассчитать и занести в таблицу 1 значение модуля кручения D.

Методом косвенных измерений найти абсолютную и относительную погрешности измерений.

Ссылка на основную публикацию
Определите разность фаз между двумя точками
1. Определить разность фаз в пульсовой волне между двумя точками артерии, расположенными на расстоянии см друг от друга. Скорость пульсовой...
О себе в инстаграмме примеры девушка
К оформлению профиля в Инстаграме подходят с особым трепетом и вниманием. Часто возникает трудность и некоторые не знают, что написать...
О чем снять влог
Как делать влоги в домашних условиях Хотите завести личный дневник в интернете и думаете, на каком ресурсе его лучше всего...
Определите ускорения грузов изображенных на рисунке
2017-04-24 Определить ускорение каждого из тел в системе, изображенной на рис.. Нити нерастяжимы. Массой блоков и нитей можно пренебречь. Трения...
Adblock detector