Найти функцию распределения двумерной случайной величины

Найти функцию распределения двумерной случайной величины

Довольно часто при изучении случайных величин приходится иметь дело с двумя, тремя и даже большим числом случайных величин. Например, двумерной случайной величиной $left(X, Y
ight)$ будет описываться точка попадания снаряда, где случайные величины $X, Y$ абсцисса и ордината соответственно. Успеваемость наудачу взятого студента в период сессии характеризуется $n$-мерной случайной величиной $left(X_1, X_2, dots , X_n
ight)$, где случайные величины $X_1, X_2, dots , X_n$ — это оценки, проставленные в зачетной книжке по различным дисциплинам.

Набор $n$ случайных величин $left(X_1, X_2, dots , X_n
ight)$ называется случайным вектором. Мы ограничимся рассмотрением случая $left(X, Y
ight)$.

Пусть $X$ — дискретная случайная величина с возможными значениями $x_1,x_2, dots , x_n$, а $Y$ — дискретная случайная величина с возможными значениями $y_1,y_2, dots , y_n$.

Тогда дискретная двумерная случайная величина $left(X, Y
ight)$ может принимать значения $left(x_i, y_j
ight)$ с вероятностями $p_=Pleft(left(X=x_i
ight)left(Y=y_j
ight)
ight)=Pleft(X=x_i
ight)Pleft(Y=y_j|X=x_i
ight)$. Здесь $Pleft(Y=y_j|X=x_i
ight)$ — это условная вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y_j$ при условии, что случайная величина $X$ приняла значение $x_i$.

Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, равна $p_i=sum_j>$. Вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y_j$, равна $q_j=sum_i>$.

Если считать, что событие $Y=y_j$ произошло, то распределение случайной величины $X$ при условии $Y=y_j$ называется условным распределением случайной величины $X$ при условии $Y=y_j$. Тогда:

Если считать, что событие $X=x_i$ произошло, то распределение случайной величины $Y$ при условии $X=x_i$ называется условным распределением случайной величины $Y$ при условии $X=x_i$. Тогда:

Пример 1. Задано распределение двумерной случайной величины:

$egin<|c|c|>
hline
Xackslash Y & 2 & 3 \
hline
-1 & 0,15 & 0,25 \
hline
0 & 0,28 & 0,13 \
hline
1 & 0,09 & 0,1 \
hline
end
$

Определим законы распределения случайных величин $X$ и $Y$. Найдем условные распределения случайной величины $X$ при условии $Y=2$ и случайной величины $Y$ при условии $X=0$.

Заполним следующую таблицу:

$egin<|c|c|>
hline
Xackslash Y & 2 & 3 & p_i & p_/q_1 \
hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \
hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \
hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \
hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \
hline
p_
/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \
hline
1 & 0,09 & 0,1 \
hline
end
$

Поясним, как заполняется таблица. Значения первых трех столбцов первых четырех строк взяты из условия. Сумму чисел $2$-го и $3$-го столбцов $2$-й ($3$-й) строки укажем в $4$-м столбце $2$-й ($3$-й) строки. Сумму чисел $2$-го и $3$-го столбцов $4$-й строки укажем в $4$-м столбце $4$-й строки.

Сумму чисел $2$-й, $3$-й и $4$-й строк $2$-го ($3$-го) столбца запишем в $5$-й строке $2$-го ($3$-го) столбца. Каждое число $2$-го столбца делим на $q_1=0,52$, результат округляем до двух цифр после запятой и пишем в $5$-м столбце. Числа из $2$-го и $3$-го столбцов $3$-й строки делим на $p_2=0,41$, результат округляем до двух цифр после запятой и пишем в последней строке.

Тогда закон распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид.

Закон распределения случайной величины $Y$.

Условное распределение случайной величины $X$ при условии $Y=2$ имеет следующий вид.

Условное распределение случайной величины $Y$ при условии $X=0$ имеет следующий вид.

Пример 2. Имеем шесть карандашей, среди которых два красных. Раскладываем карандаши в две коробки. В первую кладут $2$ штуки, а во вторую тоже два. $X$ — количество красных карандашей в первой коробке, a $Y$ — во второй. Написать закон распределения системы случайных величин $(X, Y)$.

Пусть дискретная случайная величина $X$ — количество красных карандашей в первой коробке, а дискретная случайная величина $Y$ — количество красных карандашей во второй коробке. Возможные значения случайных величин $X, Y$ соответственно $X:0, 1, 2$, $Y:0, 1, 2$. Тогда дискретная двумерная случайная величина $left(X, Y
ight)$ может принимать значения $left(x, y
ight)$ с вероятностями $P=Pleft(left(X=x
ight) imes left(Y=y
ight)
ight)=Pleft(X=x
ight) imes Pleft(Y=y|X=x
ight)$, где $Pleft(Y=y|X=x
ight)$ — условная вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y$ при условии, что случайная величина $X$ приняла значение $x$. Изобразим соответствие между значениями $left(x, y
ight)$ и вероятностями $Pleft(left(X=x
ight) imes left(Y=y
ight)
ight)$ в виде следующей таблицы.

По строкам такой таблицы указываются значения $X$, а по столбцам значения $Y$, тогда вероятности $Pleft(left(X=x
ight) imes left(Y=y
ight)
ight)$ указываются на пересечении соответствующей строки и столбца. Рассчитаем вероятности, используя классическое определение вероятности и теорему произведения вероятностей зависимых событий.

Поскольку в законе распределения (полученной таблице) все множество событий образует полную группу событий, то сумма вероятностей должна быть равна 1. Проверим это:

Функция распределения двумерной случайной величины

Функцией распределения двумерной случайной величины $left(X, Y
ight)$ называется функция $Fleft(x, y
ight)$, которая для любых действительных чисел $x$ и $y$ равна вероятности совместного выполнения двух событий $lefty_1$.

Читайте также:  Я не сижу в социальных сетях

3. Если хотя бы один из аргументов принимает значение $-infty $, то функция распределения будет равна нулю, то есть $Fleft(-infty , y
ight)=Fleft(x, -infty
ight), Fleft(-infty , -infty
ight)=0$.

4. Если оба аргумента принимают значение $+infty $, то функция распределения будет равна $1$, то есть $Fleft(+infty , +infty
ight)=1$.

5. В том случае, когда ровно один из аргументов принимает значение $+infty $, функция распределения $Fleft(x, y
ight)$ становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому элементу, то есть $Fleft(x, +infty
ight)=F_1left(x
ight)=F_Xleft(x
ight), Fleft(+infty , y
ight)=F_yleft(y
ight)=F_Yleft(y
ight)$.

6. $Fleft(x, y
ight)$ является непрерывной слева для каждого из своих аргументов, то есть

Пример 3. Пусть дискретная двумерная случайная величина $left(X, Y
ight)$ задана рядом распределения.

Тогда функция распределения:

$F(x,y)=left<egin
0, при xle 0, yle 0 \
0, при xle 0, 0 1 \
0, при 0 1 \
0, при x>1, yle 0 \
<<1>over <6>>+<<2>over <6>>=<<1>over <2>>, при x>1, 0 1, y>1 \
end

ight.$

Назначение сервиса . С помощью сервиса по заданному закону распределения можно найти:

  • ряды распределения X и Y, математическое ожидание M[X], M[Y], дисперсию D[X], D[Y];
  • ковариацию cov(x,y), коэффициент корреляции rx,y, условный ряд распределения X, условное математическое ожидание M[X/Y=yi];

Кроме этого, дается ответ на вопрос, "зависимы ли случайные величины X и Y ?".

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Пример №1 . Двумерная дискретная случайная величина имеет таблицу распределения:

Y/X 1 2 3 4
10 0,11 0,12 0,03
20 0,13 0,09 0,02
30 0,02 0,11 0,08 0,01
40 0,03 0,11 0,05 q

Найти величину q и коэффициент корреляции этой случайной величины.

Решение. Величину q найдем из условия Σpij = 1
Σpij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Откуда q = 0.09
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

X 10 20 30 40
P 0.26 0.24 0.22 0.28 ∑Pi = 1

Математическое ожидание M[X] = 10*0.26 + 20*0.24 + 30*0.22 + 40*0.28 = 25.2
Дисперсия D[X] = 10 2 *0.26 + 20 2 *0.24 + 30 2 *0.22 + 40 2 *0.28 — 25.2 2 = 132.96
Среднее квадратическое отклонение σ(x) = sqrt(D[X]) = sqrt(132.96) = 11.531

Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Y 1 2 3 4
P 0.05 0.46 0.34 0.15 ∑Pi = 1

Математическое ожидание M[Y].
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Дисперсия D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 — 2.59 2 = 0.64
Среднее квадратическое отклонение σ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801

Ковариация cov(X,Y) = M[X·Y] — M[X]·M[Y] = 2·10·0.11 + 3·10·0.12 + 4·10·0.03 + 2·20·0.13 + 3·20·0.09 + 4·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40·0.09 — 25.2 · 2.59 = -0.068
Коэффициент корреляции rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Пример 2 . Данные статистической обработки сведений относительно двух показателей X и Y отражены в корреляционной таблице. Требуется:

  1. написать ряды распределения для X и Y и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения;
  2. написать условные ряды распределения Y/x и вычислить условные средние Y/x;
  3. изобразить графически зависимость условных средних Y/x от значений X;
  4. рассчитать выборочный коэффициент корреляции Y на X;
  5. написать выборочное уравнение прямой регрессии;
  6. изобразить геометрически данные корреляционной таблицы и построить прямую регрессии.

Решение. Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=xi, Y=yj) = pij, i=1,2. n, j=1,2. m

X / Y 20 30 40 50 60
11 2
16 4 6
21 3 6 2
26 45 8 4
31 4 6 7
36 3

События (X=xi, Y=yj) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей pij(i=1,2. n, j=1,2. m), указанных в таблице, равна 1.
1. Зависимость случайных величин X и Y.
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

X 11 16 21 26 31 36
P 2 10 11 57 17 3 ∑Pi = 100

Математическое ожидание M[X].
M[x] = (11*2 + 16*10 + 21*11 + 26*57 + 31*17 + 36*3 )/100 = 25.3
Дисперсия D[X].
D[X] = (11 2 *2 + 16 2 *10 + 21 2 *11 + 26 2 *57 + 31 2 *17 + 36 2 *3 )/100 — 25.3 2 = 24.01
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Y 20 30 40 50 60
P 6 9 55 16 14 ∑Pi = 100

Математическое ожидание M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14 )/100 = 42.3
Дисперсия D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14 )/100 — 42.3 2 = 99.71
Среднее квадратическое отклонение σ(y).

Поскольку, P(X=11,Y=20) = 2≠2·6, то случайные величины X и Y зависимы.
2. Условный закон распределения X.
Условный закон распределения X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0.33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0.67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=20).
M[X/Y=y] = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Условная дисперсия D[X/Y=20).
D[X/Y=y] = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 — 14.33 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=30).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Условная дисперсия D[X/Y=30).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 — 17.67 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=40).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Условная дисперсия D[X/Y=40).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 — 25.82 2 = 4.51
Условный закон распределения X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=50).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Условная дисперсия D[X/Y=50).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 — 27.25 2 = 10.94
Условный закон распределения X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Условное математическое ожидание M[X/Y=60).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Условная дисперсия D[X/Y=60).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 — 30.64 2 = 12.37
3. Условный закон распределения Y.
Условный закон распределения Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=11).
M[Y/X=x] = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Условная дисперсия D[Y/X=11).
D[Y/X=x] = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 — 20 2 = 0
Условный закон распределения Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=16).
M[Y/X=x] = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Условная дисперсия D[Y/X=16).
D[Y/X=x] = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 — 26 2 = 24
Условный закон распределения Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=21).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Условная дисперсия D[Y/X=21).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 — 39.09 2 = 44.63
Условный закон распределения Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Условное математическое ожидание M[Y/X=26).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Условная дисперсия D[Y/X=26).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 — 42.81 2 = 34.23
Условный закон распределения Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Условное математическое ожидание M[Y/X=31).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Условная дисперсия D[Y/X=31).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 — 51.76 2 = 61.59
Условный закон распределения Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Условное математическое ожидание M[Y/X=36).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Условная дисперсия D[Y/X=36).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 — 60 2 = 0
Ковариация.
cov(X,Y) = M[X·Y] — M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 — 25.3 · 42.3 = 38.11
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции.


Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:

Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Дисперсии:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3))/100 — 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 — 25.3 2 = 24.01
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 9.99 и σy = 4.9
и ковариация:
Cov(x,y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 — 42.3 · 25.3 = 38.11
Определим коэффициент корреляции:


Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:
yx = 0.38 x + 9.14
Запишем уравнения линий регрессии x(y):

и вычисляя, получаем:
xy = 1.59 y + 2.15
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (42.3; 25.3) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=100-m-1 = 98 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

Читайте также:  Приложения для редактора фотографий

Задание. Количество попаданий пар значений случайных величин X и Y в соответствующие интервалы приведены в таблице. По этим данным найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y .
Решение

Пример. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей. Найти законы распределения составляющих величин X, Y и коэффициент корреляции p(X, Y).
Скачать решение

Задание. Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения. Найти законы распределения составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю — двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 le X le x_2, y_1 le Y le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

Читайте также:  Лучшие маленькие беспроводные наушники

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы $$ f(x)= left< egin C, mbox < в треугольнике>O(0,0), A(4,0), B(4,1)\ 0, mbox < в остальных точках>\ end
ight. $$ Найти:
$C,
ho_1(x),
ho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ — плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$ f(x,y)=csqrt, quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0) $$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y): $$ F(x)= left< egin 0, mbox < при >x le 0 mbox < или >yle 0\ (1-e^<-2x>)(1-e^<-3y>), mbox < при >x gt 0 mbox < и >ygt 0\ end
ight. $$ Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) $$f(x,y)=C e^<-x^2-2xy-4y^2>$$ Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 sin(x+y)$ в квадрате $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=sin x sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна $$f(x,y) = c(R-sqrt), quad x^2+y^2 lt R^2.$$ Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $alt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y $$f(x,y)=frac<36+9x^2+4y^2+x^2y^2>.$$ Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_$.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Ссылка на основную публикацию
На клавиатуре клавиши или кнопки
С появлением первых компьютеров, клавиатура меняла свой вид и функционал. Добавились и новые клавиши которые пользователям не известны, не говоря...
Можно ли подрезать защитное стекло для смартфона
«MyTooling.ru» – информационный портал, предоставляющий полную информацию о всех инструментах от А до Я, с которым действительно приятно работать! Наверное,...
Можно ли подключить графический планшет к телефону
Сомневаетесь в ваших новых планшетах Huion HS610 и HS64? Не волнуйтесь, в этой статье вы найдете часто задаваемые вопросы об...
На кого зарегистрирован номер телефона узнать бесплатно
«Проверка сотового номера» - это уникальный онлайн сервис для проверки номеров. База данных сервиса насчитывает более 600 млн данных о...
Adblock detector