На комплексной плоскости постройте точки

На комплексной плоскости постройте точки

Комплексная плоскость — это плоскость с прямоугольной декартовой системой координат xOy.

Комплексные числа на этой плоскости изображаются в виде точек либо в виде векторов.

I. Геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде точек на комплексной плоскости

Каждому комплексному числу z=a+bi на комплексной плоскости соответствует точка z(a;b).

И наоборот, каждую точку z(a;b) плоскости можно считать изображением комплексного числа z=a+bi.

Таким образом, геометрическое изображение комплексных чисел в виде точек координатной плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости.

Действительные числа z=a+0i на комплексной плоскости изображаются точками с координатами (a;0) (лежащими на оси Ox), чисто мнимые числа z=0+bi — точками с координатами (0;b) (на оси Oy).

Поэтому ось абсцисс Ox называют действительной осью, а ось ординат Oyмнимой осью.

Комплексно-сопряженные числа на плоскости изображаются точками, симметричными относительно оси Ox; противоположные комплексные числа — точками, симметричными относительно точки O (начала координат).

Комплексную плоскость называют также плоскостью Гаусса.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде радиус-векторов

Комплексные числа изображаются также векторами с началом в точке O и концом в точке z(a:b) (радиус-векторами).

Соответствие между комплексными числами и радиус-векторами также является взаимно однозначным.

Геометрически сумма комплексных чисел в виде радиус-векторов строятся по правилу параллелограмма сложения векторов.

Геометрически комплексные числа также можно вычитать, как векторы.

На комплексной плоскости удобно изображать различные множества комплексных чисел, удовлетворяющие заданным условиям.

Для изображения комплексного числа на плоскости необходимо построить точку с координатами (x; y), где x и y соответственно равны действительной и мнимой частям
заданного комплексного числа. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось Ox называется действительной осью ,а ось Oy
— мнимой осью.

Читайте также:  Как пользоваться essential nettools

Пример 1. Изобразить на комплексной плоскости числа z1 = 1 — 3i, z2 = 4 + i, z3 = 5, найти их модули и аргументы.

Согласно теоретической сноске выше, имеем, что числу z1 = 1 — 3i соответствует точка с координатами (1; -3), z2 = 4 + i — точка (4; 1), а комплексному числу z3 = 5 соответствует точка с координатами (5; 0).

Комплексные числа можно отобразить просто точками, а можно сделать по-другому, как в данном примере, изобразить радиус-вектором точки с началом в точке О.

Длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается |z|. По определению, модуль комплексного числа:

где x и y соответственно действительная и мнимая части комплексного числа.

Найдем модули и аргументы для каждого заданного числа (см. рисунок)

Пример 2. Найти и построить на комплексной плоскости области, которым принадлежат точки z = x + i y, удовлетворяющие условию 2 ≤ Re(z + 1) ≤ 4.

Преобразуем заданное неравенство: 2 ≤ Re(x + 1 + iy) ≤ 4.

Поскольку выражение Re (x + 1 + iy) определяет действительную часть числа, записанного в скобках, то можно перейти к следующему неравенству: 2 ≤ x + 1 ≤ 4. Или: 1 ≤ x ≤ 3.

Таким образом, условие 2 ≤ Re(z + 1) ≤ 4 определяет на комплексной плоскости область, множество точек (x; y) которой, удовлетворяют системе:

Напомним основное определение. Множество D

На рис 6а) изображена четырехсвязная область (заштрихована), ее граница состоит из четырех частей: окружности с отрезком и трех окружностей.

Область на рис.66) — квадрат (0;1)х(0;1) с выброшенными отрезками

Эта область является бесконечно связной.

Замечено, что в литературе наблюдается разнобой в понятии жордано- вой области. Чаще всего такой областью называется область, граница которой состоит из конечного числа замкнутых жордановых кривых (рис7а)).

Роль таких кривых раскрывается следующей теоремой Жордана (1882 г.).

Теорема. Замкнутая жорданова кривая Г делит комплексную плоскость на две односвязные области, одна из которых ограничена и называется внутренностью Г, другая, неограниченная, называется внешностью Г.

Читайте также:  Как выбрать зарядку для акб

На рис.7б) внутренность помечена штрихами на северо-восток, внешность — штрихами на юго-восток.

Эта теорема кажется очевидной, но ее доказательство потребовало очень тонких рассуждений; даже в случае, когда кривая является многоугольником, они остаются сложным.

Итак, замкнутая жорданова кривая разбивает плоскость на две части. При этом две точки, принадлежащие одной и той же части, можно соединить путем, не пересекающим кривую; любой путь, соединяющий точки из разных частей, пересекает кривую (рис.7б)).

В дальнейшем будет использован следующий также очевидный (но не доказываемый) факт. Внутренность D замкнутой жордановой кривой обладает свойством: любую замкнутую кривую yaD можно непрерывной деформацией, не выходя за пределы области, стянуть в точку, принадлежащую

D. Этим свойством обладает, например, открытый круг, и нс обладает тот же круг с проколотым центром. Точный смысл стягиваемости требует понятия гомотопности кривых; соответствующий материал можно найти, например, в работе [16, стр. 92-94], который послужил бы темой для курсовой или выпускной работы. Отметим здесь без доказательства следующее утверждение: для того, чтобы любая замкнутая кривая, лежащая в данной области D 2 + у 2 = 4[(х +1 ) 2 + у 2 ]. Отсюда + ^) 2 + у 2 = ^.

Получили уравнение окружности, которая разбивает плоскость на две части — ее внутренность D, и внешность ?>,. Для выяснения знака неравенства возьмем в первой области, например, точку z = 0, во второй — точку z- 2. Вычисления подскажут ответ: искомым множеством является открытый круг

радиуса — с центром z = —.

Приведем задачи для самостоятельной работы. В них требуется найти и изобразить на чертеже множества точек комплексной плоскости, заданных неравенствами.

Ссылка на основную публикацию
На клавиатуре клавиши или кнопки
С появлением первых компьютеров, клавиатура меняла свой вид и функционал. Добавились и новые клавиши которые пользователям не известны, не говоря...
Можно ли подрезать защитное стекло для смартфона
«MyTooling.ru» – информационный портал, предоставляющий полную информацию о всех инструментах от А до Я, с которым действительно приятно работать! Наверное,...
Можно ли подключить графический планшет к телефону
Сомневаетесь в ваших новых планшетах Huion HS610 и HS64? Не волнуйтесь, в этой статье вы найдете часто задаваемые вопросы об...
На кого зарегистрирован номер телефона узнать бесплатно
«Проверка сотового номера» - это уникальный онлайн сервис для проверки номеров. База данных сервиса насчитывает более 600 млн данных о...
Adblock detector