Какой физический смысл модуля кручения

Какой физический смысл модуля кручения

Кручение — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы. При деформации кручения смещение каждой точки тела перпендикулярно к её расстоянию от оси приложенных сил и пропорционально этому расстоянию.

Деформацию кручения можно наблюдать, если на стержень, один конец которого закреплен, действует пара сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси стержня. При кручении отдельные слои тела остаются параллельными, но поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол. Деформация кручения представляет собой неравномерный сдвиг. Деформации кручения возникают при завинчивании гаек, при работе валов машин.

Пример деформации кручения цилиндрического стержня

Если проволоку или стержень, закрепленные с одного конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил F с моментом, равным М, то стержень (проволока) претерпевает деформацию кручения, при которой одно его основание поворачивается по отношению к другому, фиксированному, на некоторый угол φ – угол кручения (рис. 1; 2).

Отношение угла закручивания φ к длине называют относительным углом закручивания

Закон Гука для малых деформаций кручения выражается формулой

M = Gкр.j

где Gкр.модуль кручения.

Модуль кручения , помимо материала, зависит также от формы и размеров тела.

Представьте, перед вами цилиндр (или проволока). Если вы начнёте его (её) верхний конец поворачивать вдоль оси, закрепив нижний конец, то при повороте верхней грани на один радиан вы прикладываете вращающий момент, в точности равный модулю кручения (рис.1; 2). Это и есть его определение.

Модуль кручения Gкр показывает, какой момент силы нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в 1 рад.

Деформация кручения является частным случаем деформации сдвига.

Сдвиг

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рис. 3).

Деформация сдвига возникает под действием сил, приложенных к двум противоположным граням тела так, как показано на рисунках 3; 4. Эти силы вызывают смещение слоев тела, параллельных направлению сил. Расстояние между слоями не изменяется. Любой прямоугольный параллелепипед, мысленно выделенный в теле, превращается в наклонный.

Мерой деформации сдвига является угол сдвига γ — угол наклона вертикальных граней (рис. 5).

Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АД, параллельная ВС, закреплена неподвижно.

Так как угол мал, формулу можно записать в виде:

где СС1 = D X — абсолютный сдвиг, γ — угол сдвига, называемый также относительным сдвигом, выражается в радианах.

По закону Гука относительный сдвиг γ пропорционален касательному напряжению τ = F/S, где S — площадь поверхности грани ВС, т.е.

где G — модуль сдвига.

Закон Гука для малой деформации сдвига выражается формулой:

Коэффициент G, зависящий от материала тела, называется модулем сдвига и характеризует упругие свойства тела при деформации сдвига. Например, для стального образца G = 76 ГПа.

Модуль сдвига равен касательному напряжению, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном 1 (при условии, что закон Гука выполняется).

Деформацию сдвига испытывают, например, заклепки и болты, соединяющие металлические конструкции. Сдвиг при больших углах приводит к разрушению тела — срезу. Срез происходит при работе ножниц, пилы и др.

Обратите внимание на принципиальное отличие модуля кручения от модуля сдвига, который зависит только от материала. Модуль кручения зависит не только от материала, но ещё и от диаметра и от длины цилиндра.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8730 — | 7550 — или читать все.

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МАТЕРИАЛА

С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Приборы и принадлежности: установка для определения периода колебаний крутильного маятника, линейка, микрометр.

Читайте также:  Интервал ротации сетевых ключей asus что это

Цель работы: определение модуля сдвига ( G ) материала проволоки по деформации кручения.

Сдвигом называется деформация, при которой все слои тела, параллельные некоторой плоскости, смещаются друг относительно друга (рис. 18.1). При сдвиге объем деформируемого тела не меняется.

Напряжением (механическим) называют векторную величину, равную отношению силы упругости, действующей на данной площадке внутри тела, к ее площади.

Модулями упругости называются величины, характеризующие упругие свойства материалов. В зависимости от типа деформации различают:

Модуль продольной упругости ( модуль Юнга ) Е – в случае деформации растяжения.

Модуль сдвига G – в случае деформации сдвига.

Модуль кручения D – в случае деформации кручения.

Для первых двух типов деформации (в случае малых деформаций) зависимость между упругим напряжением и соответствующей деформацией определяется простой формулой: напряжение равно произведению деформации на соответствующий модуль упругости ( закон Гука ). Так, закон Гука для деформации растяжения ( сжатия ) (рис. 18.2) имеет вид

(18.1)

где  − нормальное напряжение , равное отношению растягивающей образец силы к площади его поперечного сечения ; Е − модуль Юнга;  − относительное удлинение , равное отношению абсолютного удлинения к первоначальной длине образца

Закон Гука для деформации сдвига записывается в виде

(18.2)

где  – касательное напряжение , равное отношению касательной силы F  , вызывающей сдвиг, к площади S верхней грани, к которой приложена (рис. 18.1), ; G – модуль сдвига;  − угол сдвига (смещения слоев тела).

Закон Гука для деформации кручения (рис. 18.3) записывается в виде

(18.3)

где M – величина момента сил; D − модуль кручения;  − угол закручивания, равный углу поворота верхнего основания закручиваемого стержня относительно нижнего основания.

Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е характеризует способность материалов сопротивляться деформации растяжения. Модуль сдвига G характеризует способность материалов сопротивляться деформации сдвига. Отличие модуля кручения D от модулей Юнга и сдвига состоит в том, что он зависит не только от свойств материала, но и от геометрических размеров тела: в случае цилиндра – от его радиуса R и длины l .

Поскольку кручение сводится к неоднородному сдвигу (см. ниже), модуль кручения D оказывается зависимым от модуля сдвига G . Для тел цилиндрической формы с радиусом R и длиной l из материала с модулем сдвига G получается следующая формула для модуля кручения:

(18.4)

Цилиндрический стержень можно рассматривать состоящим из тонких цилиндрических слоев (рис. 18.4 а ). В результате закручивания образующая цилиндра DC приобретает положение DC. Рассмотрим цилиндр до деформации. Мысленно разрежем наружный цилиндрический слой по линии DC и затем развернем его, сделав плоским. Очевидно, он превратится в тонкий прямоугольный параллелепипед. Подвергнем цилиндр деформации кручения. Если теперь сделать разрез наружного слоя по новому положению линии DC и развернуть слой, то получится уже косой параллелепипед (рис. 18.4 б ). Это означает, что цилиндрический слой испытал деформацию сдвига.

Все остальные слои также испытывают при кручении деформацию сдвига. Однако смещения верхних граней слоев и, следовательно, величина угла сдвига оказывается неодинаковой для различных слоев, убывая от внешних слоев к внутренним. Отсюда и следует, что кручение можно представить как неоднородный сдвиг цилиндрических слоев (см. рис. 18.4 б ).

Формула (18.4), в которой содержится связь между модулями D и G , позволяет, зная один из них, вычислить другой. Экспериментально легко определяется величина модуля кручения. Для этого в данной работе измеряется период колебаний крутильного маятника – подвешенного на проволоке тела. Этот период зависит от упругих свойств проволоки (модуля кручения).

Опыт показывает, что тело, подвешенное на металлической проволоке, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, начинает под действием упругих сил, возникающих в упругой проволоке, совершать крутильные колебания . При повороте тела на угол  момент упругих сил, стремящийся вернуть тело в положение равновесия, согласно формуле (18.3) для малых углов  (малых колебаний) будет

Согласно основному закону динамики вращательного движения

где I – момент инерции тела относительно оси вращения. Знак минус поставлен потому, что момент сил вызывает вращение в сторону уменьшения угла  . Для крутильного маятника можно записать

Читайте также:  Телефон выключается при запуске приложений

или или , (18.5)

где или − вторая производная по времени от угла  закручивания маятника; − круговая частота. Формула (18.5) является дифференциальным уравнением крутильных колебаний крутильного маятника .

Это уравнение математически тождественно дифференциальному уравнению

или ,

описывающему движение математического маятника. Значит, тело будет совершать гармонические крутильные колебания с периодом

(18.6)

Если момент инерции I тела известен, то, измерив период колебаний, можно по (18.6) вычислить модуль кручения D .

В данной работе используется крутильный маятник (рис. 18.5), у которого тело (стержень 3 с двумя грузами 2) подвешено на двух проволоках 4 – верхней и нижней, которые отрезаны из одного мотка проволоки. В этом случае суммарный упругий момент складывается из моментов, создаваемых каждой проволокой

,

где D 1 – модуль кручения первой проволоки; D 2 – модуль кручения второй проволоки; D – суммарный модуль кручения проволок. Таким образом

.

Тогда согласно (18.4)

,

где G – модуль сдвига материала проволоки; R – радиус проволоки; − длины верхней и нижней проволок.

С учетом того, что R = d / 2, где d – диаметр проволоки, получаем суммарный модуль кручения D проволок

(18.7)

Из формул (18.6), (18.7) следует, что модуль сдвига материала проволоки равен

(18.8)

где I – момент инерции тела (стержня с грузами); − длины верхней и нижней проволок; d – диаметр проволоки; T – период колебаний крутильного маятника.

Установка (рис. 18.6) состоит из основания 1, на котором закреплена колонна 2. На ней неподвижно крепятся нижний 3, средний 4 и верхний 7 кронштейны. В зажимах верхнего и нижнего кронштейнов закреплена натянутая проволока 8, в центре которой подвешен стержень 9. На стержень 9 навешены два груза 6, которые могут перемещаться вдоль стержня. В нижней части узла, с помощью которого маятник соединяется с проволокой, смонтирована водилка 12. На среднем кронштейне 4 установлены: прозрачный защитный экран 11, на боковой стенке которого нанесена шкала для замера угла отклонения маятника, и фотоэлектрический датчик 13. При крутильных колебаниях маятника водилка пересекает световой луч датчика, в результате чего запускаются счетчик колебаний и секундомер.

На лицевой стенке блока управления 14 располагаются:

секундомер 15 – световое табло с высвечивающимися цифрами;

счетчик колебаний 19 – световое табло, на котором высвечивается число полных колебаний;

клавиша »Сеть» 18 – при нажатии на клавишу на блок управления подается питание и высвечиваются табло секундомера, табло счетчика колебаний и загорается лампочка фотоэлектрического датчика;

клавиша »Сброс» 17 – при нажатии на клавишу обнуляется секундомер и счетчик колебаний;

клавиша »Стоп» 16 – при нажатии на клавишу секундомер и счетчик колебаний останавливаются.

Порядок выполнения работы

. ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ . Чтобы не сбить настройку прибора на ноль, запрещается поворачивать стержень 9 на угол больше 10º. Во избежание разрыва проволоки 8 запрещается сильно поворачивать водилку 12 относительно стержня 9.

Установите грузы 6 на одинаковом расстоянии от оси вращения маятника (от проволоки). Стержень 9 при этом должен находиться в строго горизонтальном положении.

Стержень 9 должен показывать на ноль шкалы на защитном экране 11. Если эта настройка на ноль сильно сбита, обратитесь к лаборанту.

Запишите массу m груза 6, которая выбита на нем.

Измерьте и запишите расстояние r от центра масс груза 6 до оси вращения маятника (до проволоки).

С помощью линейки измерьте верхнюю и нижнюю длины проволоки.

С помощью микрометра измерьте диаметр d проволоки. Проведите это измерение 5 раз в разных местах проволоки и найдите среднее значение диаметра. Результаты измерений и вычислений занесите в табл. 18.1.

Подключите прибор к сети. Нажмите на клавишу »Сеть». При этом должны высветиться табло секундомера и счетчика колебаний и загореться лампочка фотоэлектрического датчика. Если один из элементов не сработает, сообщите об этом лаборанту.

В положении равновесия маятника тень от водилки 12 должна касаться правым краем отверстия фотоэлектрического датчика 13. Если этого не наблюдается, то водилку нужно осторожно повернуть в соответствующее положение, удерживая маятник рукой за стержень 9.

Отклоните маятник на угол 8−10 (по шкале на защитном экране 11) и отпустите маятник. Сразу же после этого нажмите клавишу «Сброс». Счетчик колебаний начнет отсчитывать число полных колебаний n , а секундомер – время колебаний t . Отклонять маятник нужно так, чтобы его колебания были только крутильными (по возможности), если же маятник дополнительно сильно колеблется влево-вправо или вперед-назад, то показания счетчика n и секундомера t могут быть неправильными.

Читайте также:  Коды ошибок платы мяу

При показании счетчиком n =9 колебаний нажмите на клавишу »Стоп», при этом счетчик и секундомер остановятся, когда будет n =10. Данные эксперимента запишите в табл. 18.1.

Повторите эксперимент 5 раз, выполнив пп. 9-10.

m = …; r = …; =…; =… .

Цель работы:с помощью крутильного маятника определить модули кручения и сдвига проволоки.

Приборы и принадлежности:крутильный маятник, секундомер, штангенциркуль, линейка.

Методика и техника эксперимента

Крутильный маятник представляет собой упругий стержень, один конец которого закреплен, а к другому прикреплено массивное тело таким образом, что его центр инерции находится на оси стержня ОО1.

Если тело повернуть на небольшой угол вокруг оси ОО1 и предоставить самому себе, то оно начнет совершать крутильные колебания.

Можно показать, что величина периода крутильных колебаний Т зависит от упругих свойств проволоки и момента инерции маятника.

Если на тело действует пара сил, то численное значение вращающего момента по основному закону вращательного движения

,

где: — угловое ускорение; J – момент инерции маятника относительно оси ОО1.

Момент упругих сил, возникающих в образце при кручении, по закону Гука равен

,

где D — модуль кручения. Поэтому

.

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение крутильных колебаний. Его можно привести к виду:

.

Как нетрудно увидеть путем прямой подстановки, решение данного уравнения имеет вид:

,

т.е. угол j изменяется по гармоническому закону, тело совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом

. (1)

В используемой экспериментальной установке к нижнему концу вертикально висящей проволоки СD прикрепляется горизонтальный стержень AB со средним грузом M и двумя равными перемещаемыми грузами т. Если на концы стержня AB подействовать парой сил, создающей вращающий момент, а затем систему предоставить самой себе, то она будет совершать крутильные колебания в горизонтальной плоскости.

В основе данной работы лежит соотношение (1), в котором J — момент инерции системы относительно оспСD, D модуль кручения, T — период крутильных колебаний.

Модуль крученияD можно определить, не зная момента инерции всей системы J относительно оси СD, но зная моменты инерции относительно СD небольших по объему массивных грузов т, располагая их на минимальном l1 и максимальном l2 расстояниях. Обозначая периоды колебаний маятника для этих двух случаев Т1 и Т2, получим из выражения (1):

, .

Вычтем из второго равенства первое

и выразим отсюда

. (2)

Принимая грузы m за материальные точки, моменты инерции системы J1 и J2 можно найти как

, , (3)

где J – момент инерции стержня со средним грузом. Подставляя (3) в (2), получаем:

.

Выражая периоды Т1 и Т2 через время t1 и t2 n колебаний при расположении грузов m на расстояниях соответственно l1 и l2

, ,

получаем расчётную формулу для модуля кручения материала проволоки маятника

. (4)

Поскольку деформации кручения являются частным случаем сдвиговых деформаций, модуль кручения связан с модулем сдвига соотношением:

, (5)

где: d – диаметр проволоки СD; L – её длина.

Порядок выполнения работы

1. Поместить грузы m на минимальное расстояние от оси проволоки и однократно измерить расстояние от ее оси до центра подвижных грузов l1.

2. Повернуть крутильный маятник на угол порядка 5°, предоставить его самому себе и по секундомеру отсчитать время п = 20 полных колебаний t1. Повторить операцию 5-7 раз.

3. Выполнить пункты 1, 2 для максимального расстояния грузов l2 от оси проволоки.

4. Однократно измерить штангенциркулем диаметр d проволоки маятника.

5. Записать в таблицу длину проволоки L, массу грузаm и данные проведённых измерений.

6. Произвести математическую обработку результатов измерений, найти по формулам (4) и (5) модули кручения D и сдвига G, а также их погрешности , .

Таблица измерений

n l1, мм t1, c l2, мм t2, c Dl, мм Dt, c d, мм Dd, мм L, м m, кг

1. Какие деформации называются упругими?.

2. Сформулируйте и запишите закон Гука применительно к деформациям кручения и сдвига.

3. Какой физический смысл модуля кручения и модуля сдвига?

Ссылка на основную публикацию
Какой пульт подойдет к телевизору dexp
Если у вас есть более/менее современный телевизор от DEXP и смартфон Xiaomi с ИК портом, то эти два гаджета легко...
Как установить драйвера без мышки
Здравствуйте, дорогие читатели. Сегодня хотелось бы рассказать об инструменте, без которого не обходится практически ни один компьютер – мышь. Это...
Какой пульт подойдет к телевизору dexp
Если у вас есть более/менее современный телевизор от DEXP и смартфон Xiaomi с ИК портом, то эти два гаджета легко...
Какой физический смысл модуля кручения
Кручение — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил...
Adblock detector