Как найти нод больших чисел

Как найти нод больших чисел

Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

  • число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
  • число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.

Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .

Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.

Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так:

Пример: НОД (12; 36) = 12 .

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .

Читайте также:  Как переустановить биос на компьютере с флешки

Как найти наибольший общий делитель

Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

  1. разложить делители чисел на простые множители;

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .

    Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.
    28 = 2 · 2 · 7

64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД

Найти НОД 48 и 36 .

НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

Второй способ записи НОД

Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15 .

На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найдём НОД (84, 90).

Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой: 1 · 2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найдём НОД (15, 28).

Раскладываем 15 и 28 на простые множители:

Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель – единица.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Читайте также:  Последние опубликованные видео в ютубе

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно, НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

  1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
  2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
  3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
  4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
  5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

Последний делитель равен 4 – это значит, что НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

  1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
  2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
  3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.
Читайте также:  При разговоре по телефону слышу шумы

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа – 48:

48 делится на 4 без остатка. Таким образом, НОД (140, 96, 48) = 4.

Изучаем математику вместе!

Числа:
НОД:

Числа вводите через запятую.

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольшее число, на которое m и n делятся без остатка. Например, для чисел 125 и 75 НОД равен 25.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, надо:

1) Представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5; 2) Записать степени всех простых множителей:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 3 · 3 2 · 5 1 ; 3) Выписать все общие простые множители этих чисел;

4) Выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;

5) Перемножить эти степени.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух целых чисел m и n называется наименьшее натуральное число, которое делится и на m, и на n.

Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n равно отношению произведения m и n к НОД(m, n).

НОК(m, n) = (m · n) / НОД(m, n).

1) Найти НОД чисел 450 и 390.

Представим числа как произведение их простых множителей:

450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 = 2 1 · 3 2 · 5 2 ;

390 = 2 · 3 · 5 · 13 = 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 1 .
Видим, что общими являются множители 2, 3 и 5. Наименьшая степень каждого множителя 1. Тогда НОД(450, 390) = 2 · 3 · 5 = 30.

2) Найти НОК чисел 450 и 390.

Зная НОД этих чисел, можно легко найти их НОК:

НОК(450, 390) = (450 · 390) / 30 = (2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 2 · 3 · 5 · 13) / (2 · 3 · 5) = 2 · 3 · 5 · 5 · 13 = 5850

Ссылка на основную публикацию
Как на авито найти продавца по имени
Avito – интернет-сервис для продажи и покупки товаров, предложения услуг, поиска работы. Начинающий пользователь может быстро освоить функции ресурса благодаря...
Как закачать видео с компьютера на айпад
Одна из возможных задач владельца iPhone или iPad — перенос на него видео, загруженного на компьютере или ноутбуке для последующего...
Как закачать игру на флешку телефона
Купил и вставил новую флешку, подскажите, как установить игру на флешку андроид? Скачать игры на флешку на андроид сразу из...
Как на айпаде включить два экрана
Режим разделенного экрана очень полезен, поскольку позволяет держать открытыми одновременно два приложения на устройстве, независимо от того, требуется ли открыть...
Adblock detector