Элементарные функции комплексной переменной

Элементарные функции комплексной переменной

1) Показательная функция (формула Эйлера)

.

2) Тригонометрические функции

,,,.

3) Гиперболические функции

,,,.

4) Логарифмическая функция

Главное значение(главная ветвь).

Главная ветвь.

Главная ветвь.

Обратные тригонометрические функции Arcsinz,Arccosz,Arctgz

=Arcsinz

Пример на последовательности:

§3. Непрерывность функции комплексной переменной. 1. Понятие предела (предельного значения) функции комплексной переменной в точке z0g.

Определение 2. (по Коши) Комплексное число w называется пределом f(z) в точке zg, если для  >0  (,z)>0 : |f(z)-w| 0 и выберем соответствующее ()>0. Рассмотрим произвольную последовательность <zn> z и найдем N[ ()]=N(): для  n>N() 0 N(). А т.к. >0- любое и <zn>z-произвольная, то это значит, что <f(zn)>w, т.е. выполнено O1.

2) (ГейнеКоши). Предположим противное: пусть верно O1, а O2— неверно.

Это значит, что >0, что n>0  zng, что 0 . Выберем <n>0 и соответствующую ей последовательность <zn>, удовлетворяющую предыдущим неравенствам. Тогда получим, что  n>z, а <f(zn)>не сходится к w. Т.е. О1 неверно. Получили противоречие. 

2. Непрерывность функции.

Определение. Функция комплексной переменной f(z), z g, называется непрерывной в точке z g, если  ограниченный предел f(z)= w и w= f(z).

Определение. (в терминах - Функция комплексной переменной f(z), z g, называется непрерывной в точке z g, если   >0  (,z)>0 :  z : |z-z| 

2) Равенство равносильно тому, что для >0 ()>0: || Если f(z) дифференцируема в точке z, то она и непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение функции f(z) аналитической в области. Необходимое и достаточное условие аналитичности f(z).

Определение. Функция f(z) называется аналитической функцией в области g, если она дифференцируемая во всех точках zg и ее производная непрерывна в этой области f ‘ (z) C(g)

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условиями аналитичности функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) в области g, являются непрерывность первых частных производных ux, uy, vx, vy и связь их условиями Коши-Римана.

f(z)C  (g) => (z) C(g) => ux, uy, vx, vy C(g). Выполнение условий Коши-Римана следует из Теоремы 4.1.

ux, uy, vx , vy  C(g) => первые дифференциалы функций u(x,y), v(x,y) => по Теореме 4.2f ‘(z) =ux+ivx C(g); непрерывность следует из непрерывности ux , vx.

Замечание. В дальнейшем будет показано, что

f(z)C  (g) => (z)C  (g) и для n  f (n) (z)C  (g).

Рассмотрим функцию . Ее действительная и мнимая части . Условия К-Р имеют вид

и удовлетворяются лишь в одной точке . Т.о. функция дифференцируема в этой точке. Однако производную в данном случае можно находить только по определению

.

Не смотря на выполнение в точке условия К-Р функция не является аналитической (для аналитичности нужна непрерывность производной). Т.о. условия К-Р не являются достаточными условиями аналитичности.

Свойства аналитической функции комплексной переменной.

1) Действительная и мнимая части аналитической функции – гармонические функции(удовлетворяют уравнению Лапласа):

Доказательство: и=> и => uxx+uyy=0 ;

2) f(z)=u(,)+iv(,) условия Коши-Римана в полярных координатах z=e i  :

v = u , u =- v.

Читайте также:  Мегафон поездка в турцию

Доказательство. Замена переменных

] при п > 1 отлична от нуля во всех точках, кроме z = 0. Записывая в формуле (4) w и z в показательной форме получаем, что Из формулы (5) видно, что комплексные числа Z и z2 такие, что где k — целое, переходят в одну точку w. Значит, при n > 1 отображение (4) не является однолистным на плоскости z. Простейшим примером области, в которой отображение ги = zn однолистно, является сектор где а — любое вещественное число. В области (7) отображение (4) конформно. — многозначна, т. к. для каждого комплексного числа z = ге1в Ф 0 можно указать п различных комплексных чисел , таких, что их n-я степень равна z: Отметим, что Многочленом степени п комплексного переменного z называется функция где заданные комплексные числа, причем ао Ф 0. Многочлен любой степени является аналитической функцией на всей комплексной плоскости. 2.3. Дробно-рациональная функция Дробно-рациональной функцией называется функция вида где ) — многочлены комплексного переменного z. Дробно-рациональная функция аналитична во всей плоскости, кроме тех точек, в которых знаменатель Q(z) обращается в нуль. Пример 3. Функция Жуковского__ аналитична во всей плоскости г, исключая точку г = 0. Выясним условия на область комплексной плоскости, при которых функция Жуковсхого, рассматриваемая в этой области, будет однолистна. М Пусть точки Z) и zj функция (8) переводит в одну точку. Тогда при мы получаем, что Значит, для однолистности функции Жуковского необходимо и достаточно выполнение условия Примером области, удовлетворяющей условию однолистности (9), является внешность круга |z| > 1. Так как производная функции Жуковского Элементарные функции комплексного переменного Дробно-рациональные функции Степенная функция Показательная функция Логарифмическая функция Тригонометрические и гиперболические функции отлична от нуля всюду, кроме точек , то отображение области осуществляемое этой функцией, будет конформным (рис. 13). Заметим, что внутренность единичного круга |I также является областью однолистности функции Жуковского. Рис. 13 2.4. Показательная функция Показательную функцию ez определим для любого комплексного числа z = х + гу следующим соотношением: При х = 0 получаем формулу Эйлера: Опишем основные свойства показательной функции: 1. Для действительных z данное определение совпадает с обычным. В этом можно убедиться непосредственно, положив в формуле (10) у = 0. 2. Функция ez аналитична на всей комплексной плоскости, и для нее сохраняется обычная формула дифференцирования 3. Для функции ег сохраняется теорема сложения. Положим 4. Функция ez — периодическая с мнимым основным периодом 2xi. В самом деле, для любого целого к С другой стороны, если то из определения (10) вытекает, что Откуда следует, что , или где п — целое. ► Полоса не содержит ни одной пары точек, связанных соотношением (12), поэтому из проведенного исследования вытекает, что отображение w = е’ одно л истно в полосе (рис. 14). Атак как производная , то это отображение конформно. Замечз нив. Функция г.г однолистна в любой полосе 2.5. Логарифмическая функция Из уравнения где задано, неизвестное, получаем Отсюда Тем самым функция, обратная функции определена для любого и предсташтяется формулой где Эта многозначная функция называется логарифмической и обозначается следующим образом Величину arg z называют главным значением логарифма и обозначают через Тогда для Ln z получается формула 2.6. Тригонометрические и гиперболические функции Из формулы Эйлера (11) для действительных у получаем Откуда Определим тригонометрические функции sin z и cos z для любого комплексного числа z посредством следующих формул: Синус и косинус комплексного аргумента обладают интересными свойствами. Перечислим основные из них. Функции sinz и cos z: 1) для действительных z —х совпадают с обычными синусами и косинусами; 2) аналитичны на всей комплексной плоскости; 3) подчиняются обычным формулам дифференцирования: 4) периодичны с периодом 2тг; 5) sin z — нечетная функция, a cos z — четная; 6) сохраняются обычные тригонометрические соотношения. Все перечисленные свойства без труда получаются из формул (15). Функции tgz и ctgz в комплексной области определяются формулами а гиперболические функции — формулами ‘ Гиперболические функции тесно связаны с тригонометрическими функциями. Эта связь выражается следующими равенствами: Синус и косинус комплексного аргумента обладают еще одним важным свойством: на комплексной плоскости | принимают сколь угодно большие положительные значения. Покажем это. Пользуясь свойствами 6 и формулами (18) получаем, что Элементарные функции комплексного переменного Дробно-рациональные функции Степенная функция Показательная функция Логарифмическая функция Тригонометрические и гиперболические функции Откуда Полагая , имеем Пример 4. Нетрудно проверить, что -4 В самом деле,

Читайте также:  Как сделать размытие по гауссу в фотошопе

Информация расположенная на данном сайте несет информационный характер и используется для учебных целей.
© Брильёнова Наталья Валерьевна

Следующие функции (как однозначные, так и многозначные) называют основными элементарными функциями:

Дробно-рациональная функция

a)az+b, (а 0, а, b C) – линейная функция;

б)z n , n N;– степенная функция с натуральным показателем;

в) – дробно-линейная функция;

г) функция Жуковского .

2. Показательная функция:

Наряду с введенным обозначением для показательной функции используют обозначение exp z.

Заметим, что на вещественной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного. Непосредственная проверка убеждает, что на показательную функцию комплексного переменного переносится теорема сложения

Показательная функция комплексного переменного является периодической функцией с основным периодом 2pi, т. е.

.

3. Тригонометрические функции:

Для тригонометрических функций сохраняются теоремы сложения, а следовательно, и остальные формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного переменного. Они являются периодическими функциями с теми же периодами, что и соответствующие тригонометрические функции действительного переменного.

Однако в случае комплексного переменного функции sinz, cosz ограниченными не являются.

4. Гиперболические функции:

Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция Lnz, при z 0 определяется как обратная к показательной функции, причем

Так как показательная функция – периодическая с периодом 2pi, то логарифмическая функция является многозначной. В каждой точке z 0 она принимает бесконечно много значений.

где arg z – главное значение аргумента, называется главным значением логарифмической функции. Итак,

Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и для многозначного логарифма, а именно: при z1 и z2, отличных от нуля, верны формулы

6. Общая степенная функция:

, a C.

Эта функция многозначная, её главное значение равно .

При a=1/n, n N получаем многозначную функцию – корень n-й степени из z:

7. Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим, являются многозначными и выражаются через логарифмическую.

Читайте также:  Как сохранить фото с сайта на компьютер

Поясним сказанное на примере функций а) w= аrcsin z, б) w= аrth z.

a)Имеем по определению

(Знаки ± в формуле решения квадратного уравнения можно опустить, если понимать корень как двузначную функцию).

б)По определению w= аrthz Û z= thw. Откуда получаем

Таким образом, .

Для остальных обратных тригонометрических функций выполняются формулы:

Аналитические функции. Условия Коши-Римана.

Аналитическая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция f называется аналитической в точке z, если сужение функции f на некоторую окрестность z является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке z то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z.

Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного f(z)=u(z)+iv(z) (где u(z) и v(z) — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в некоторой области A∈C, называемой областью аналитичности, выполняется одно из трех равносильных условий:

1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке z=x+iyA выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);

2. Ряд Тейлора функции в каждой точке zA сходится и его сумма равна f(z) (аналитичность в смысле Вейерштрасса);

3. Интеграл ∫Γf(z)dz=0 для любой замкнутой кривой Γ⊂A (аналитичность в смысле Коши)

Условия Коши-Римана, которые также в некоторых источниках называются условиями Даламбера-Эйлера — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного , где .

Для того чтобы функция , которая определена в некоторой области комплексной плоскости , была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части и были дифференцируемы в точке как функции вещественных переменных и и в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:

Эти условия впервые появились в работе французского ученого-энциклопедиста, философа, математика и механика Жана Лерона Даламбера (1717 — 1783) в 1752 году. В работе швейцарского, немецкого и российского математика и механика Леонардо Эйлера (1707 — 1783), доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Великий французский математик и механик Огюстен Луи Коши (178 9- 1857) пользовался этими соотношениями для построения теории функций.

Пусть задана действительная часть функции комплексной переменной . Требуется найти мнимую часть этой функции. Найти саму функцию , используя некоторое начальное условие.

Алгоритм решения состоит в следующем:

1) Используя условия Коши-Римана, находим мнимую часть .

2) Когда и действительная, и мнимая части функции известны, составляем функцию . Далее в полученном выражении надо произвести такие преобразования, чтобы выделить переменную или , то есть "избавиться" от переменных и .

Замечание 1

На практике будут полезны соотношения:

Замечание 2

Поделить на мнимую единицу равносильно умножению на .

3) В конечном итоге будет получена функция , выражение которой содержит только комплексную переменную и константы. Используя начальное условие, если оно задано, находим значение константы и окончательно получаем искомую функцию.

Аналогично по известной мнимой части можно найти действительную часть . Алгоритм решения практически идентичен.

Дата добавления: 2018-06-27 ; просмотров: 373 ;

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector