Интеграл 2dx x 2

Интеграл 2dx x 2

Данный онлайн калькулятор позволяет найти неопределенный интеграл и получить ход решения.
Неопределенный интеграл — это множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом ∫f(x)dx.
Как следует из изложенного выше, если F(x) — некоторая первообразная функции f(x), то ∫f(x)dx = F(x)+C где C — произвольная постоянная.
Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx — подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:
1) d∫f(x)dx = ∫f(x)dx
2) ∫F'(x)dx = F(x)+C , или ∫dF(x)dx = F(x)+C

Для получения пошагового решение интеграла, в ответе необходимо нажать Step-by-step.

Основные функции

  • : x^a
  • : Sqrt[x]
  • : x^(1/n)
  • : a^x
  • : Log[a, x]
  • : Log[x]
  • : cos[x] или Cos[x]
  • : sin[x] или Sin[x]
  • : tan[x] или Tan[x]
  • : cot[x] или Cot[x]
  • : sec[x] или Sec[x]
  • : csc[x] или Csc[x]
  • : ArcCos[x]
  • : ArcSin[x]
  • : ArcTan[x]
  • : ArcCot[x]
  • : ArcSec[x]
  • : ArcCsc[x]
  • : cosh[x] или Cosh[x]
  • : sinh[x] или Sinh[x]
  • : tanh[x] или Tanh[x]
  • : coth[x] или Coth[x]
  • : sech[x] или Sech[x]
  • : csch[x] или Csch[е]
  • : ArcCosh[x]
  • : ArcSinh[x]
  • : ArcTanh[x]
  • : ArcCoth[x]
  • : ArcSech[x]
  • : ArcCsch[x]
  • [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)
Интегралы

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции нужно написать в строке: f[x], x. Найти определенный интеграл так же просто: f[x], либо e f(x), x=a..b.

Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Sin(x) Синус (x)
Cos(x) Косинус (x)
Tan(x) Тангенс (x)
Cotan(x) Тангенс (x)
Sec(x) Секанс (x)
Csc(x) Косеканс (x)
Arcsin(x) Арксинус (x)
Arccos(x) Арккосинус (x)
Arctan(x) Арктангенс (x)
Arcsec(x) Арксеканс (x)
Arccosec(x) Арккосеканс (x)
Log(x) Логарифм (x) по основанию e
Lg(x) Логарифм (x) по основанию 10
Log[a,x] Логарифм (x) по основанию a
x^a X в степени a = x^a
abs(x) Модуль x = (|x|)
Sqrt(x) Корень из x

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F'(x) = f(x)

Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием.

  1. Найдите неопределенный интеграл $$ int 5sin(x)dx $$ .
    Посмотреть решение
Читайте также:  Как добавить часы на сайт

Данный интеграл можно найти при помощи прямого интегрирования. Для этого найдем первообразную функции sin(x), а также воспользоваться свойством, по которому постоянную можно вынести за знак интеграла.

$$ int 5 sin(x)dx = 5 cdot int sin(x)dx = 5 cdot ( -cos(x) ) + C = -5cos(x) + C$$

Ответ:

$$ int 5 sin(x)dx = -5cos(x) + C$$

Для решения данного интеграла необходимо преобразовать выражение, после чего найти первообразную. Сначала вынесем общий множитель:

Теперь можно использовать табличный интеграл:

Ответ:

$$ int frac<sqrt<5-4x^2>> = frac<1> <2>cdot arcsin left( sqrt<(frac<5><4>)> cdot x
ight) + C $$

Чтобы найти интеграл потребуется внесение переменной под знак дифференциала:

$$ int tg xdx = int sin frac = — int d cos frac $$

Теперь воспользуемся табличным интегралом:

$$ — int dcos frac = ln |cos x| + C $$

Ответ:

$$ int tg xdx = ln |cos x| + C$$

Чтобы решить этот интеграл целесообразно преобразовать его, внеся одну из функций под знак дифференциала, а затем произвести замену переменной:

$$ int (1 + 2sin x)^2 cdot cos xdx = frac<1> <2>int (1 + 2sin x)^2 d (1 + 2sin x) $$

Произведем замену переменной 1+2sin x=t:

Ответ:

$$ int(1+2sin x)^2 cdot cos xdx = frac<(1 + 2sin x)^3> <6>+ C$$

Чтобы найти данный интеграл, используем правила интегрирования по частям $$ int vdu=vu- int udv $$. Преобразуем интеграл:

$$ int x cdot sin x dx = — int x d cos x = -(x cdot x — int cos x dx) $$

Сводим к табличному интегралу:

$$ — (x cdot cos x — int cos x dx) = -(x cdot cos x — sin x) + C = sin x — x cdot cos x + C $$

Ответ:

$$ int x cdot sin x dx = sin x — x cdot cos x + C $$

При интегрировании рациональной функции разбиваем ее на несколько более простых при помощи метода неопределенных коэффициентов. По теореме Виета можно определить корни знаменателя 1 и 2. Тогда функция приобретет вид:

Применяя метод неопределенных коэффициентов, получим:

Составим систему уравнений:

$$ egin A + B = 1 \ -A-2B = 1 end $$

Решая ее, получим:

Вернемся к интегрированию:

$$ int frac<3> <(x-2)dx>- int frac<2> <(x-1)dx>= 3 cdot ln |x-2| -2 cdot ln|x-1| + C $$

Читайте также:  Стиральные машины самсунг отзывы форум

Ответ:

$$ int x cdot sin x dx = sin x — x cdot cos x + C $$

Чтобы найти интеграл воспользуемся тригонометрической заменой tg3x=t, тогда

$$ x= frac<1> <3>cdot arctg t, quad dx= frac

<(3(1+t²))>$$

Ответ:

$$ int tg^33xdx = tg^2frac<3x> <6>- frac<1> <6>cdot ln|1+tg^23x| + C $$

Применим тригонометрическую формулу, связанную с двойным аргументом $$ sin^2x=frac<(1-cos 2x)> <2>$$, после чего разобьем интеграл на два более простых:

∫sin²xdx=1/2·∫(1-cos 2x)dx=1/2·∫dx-1/2·∫cos 2xdx=1/2·∫dx-1/4·∫cos 2xd2x=1/2·x-1/4·sin 2x+C=1/2·(x-sin 2x/2)+C $$ int sin^2xdx = frac<1> <2>cdot int(1-cos 2x)dx = frac<1> <2>cdot int dx -frac<1> <2>int cos 2xdx =$$ $$ = frac<1> <2>cdot int dx — frac<1> <4>cdot int cos 2xdx = frac<1> <2>cdot x — frac<1> <4>cdot sin 2x + C = frac<1> <2>cdot (x — sin frac<2x><2>) + C $$

Ответ:

$$ int sin^2xdx = frac<1> <2>cdot (x — sin frac<2x><2>) + C $$

Сначала разложим интеграл на 2 более простых, а затем произведем замену:

Возьмем каждый из интегралов по отдельности:

Ответ:

Чтобы найти интеграл необходимо дважды применить интегрирование по частям. Получим:

$$ int x cdot ln^2 xdx = frac<1> <2>cdot int ln^2xdx^2 = frac<1> <2>cdot ( ln^2 x cdot x^2 — int x^2d ln^2x ) = frac<1> <2>cdot (ln^2x cdot x^2 — int x^2 cdot 2 cdot ln frac)= $$

$$ = frac<1> <2>cdot (ln^2x cdot x^2 — 2 cdot int x cdot ln xdx) = frac<1> <2>cdot (ln^2x cdot x cdot x^2 — 2 cdot frac<1> <2>cdot ( ln x cdot x^2 — int xdx ) ) = ln^2 x cdot frac <2>- frac <4>+C$$

Ответ:

$$ int x cdot ln^2 xdx = ln^2 x cdot frac <2>- frac <4>+C $$

Неопределенный интеграл онлайн

В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!

Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?

Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!

Читайте также:  Как открыть простой замок

Вводная к интегралам

В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.

Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.

В этом заключается один из физических смыслов интеграла.

Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.

Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.

Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.

Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод. Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами. Благодаря компьютерным мощностям, такие задачи не представляют особых сложностей для современного человека.

Калькулятор решения интегралов

Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.

И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.

Ссылка на основную публикацию
Защищенный пдф снять защиту
Файлы PDF, разработанном компанией Adobe Systems, являются одним из самых распространенных форматов, который используется для создания различных электронных документов, книг,...
Драйвера для philips s309
Home » Philips » Philips S309 USB Drivers Download Philips S309 official USB drivers for your Android smartphone. You will...
Драйвера для видеокарты ати радеон
Драйверы Radeon Software/Catalyst для видеокарт AMD (ATI): AMD Radeon Software/Catalyst для Windows 10 Драйверы AMD Radeon Software/Catalyst для настольных и...
Звезда на небе мигает разными цветами
Вы замечали, каким тихим и безмятежным кажется звездное небо? И стоит только на минуту остановиться и заглянуть в него, как...
Adblock detector