Формула маклорена с остаточным пеано

Формула маклорена с остаточным пеано

Формулой Маклорена** называется формула Тейлора (10.6) при д = 0:

Здесь остаточный член имеет вид:

•Пеано Джузеппе (1858—1932) — итальянский математик. ••Маклорен Колин (1698—1746) — шотландский математик.

Один из основных принципов математики — представление сложного через более простое. Формулы Тейлора и Маклорена как раз являются реализацией этого принципа. Любые функции, удовлетворяющие условиям теоремы Тейлора, с достаточной степенью точности могут быть представлены в виде многочлена п-й степени. Многочлены же — наиболее простые элементарные функции, над которыми удобно выполнять арифметические действия, вычислять значения в любой точке и т.д.

Формулы (Ю.6) и (10.12) дают возможность разложить функцию/(х) по формуле Тейлора (в окрестности точки а) и по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить/(х) в виде многочленов, коэффициенты которых вычисляются достаточно просто. Эти формулы широко используются и для приближенных вычислений значений различных функций; при этом погрешность вычислений оценивается по остаточному члену в форме Лагранжа.

Выведем рахпожения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

Поскольку/"(*) = е х ,/ (л) (0) * е° = 1 для любого п, формула Маклорена (10.12) имеет вид:

Формула (10.13) используется для вычисления числа е с любой необходимой точностью. Запишем ее с остаточным членом в форме Лагранжа при х — 1:

Отбрасывая последнее слагаемое, получаем приближенное значение числа с

2,7182818. причем погрешность расчета оценивается по формуле

Например, при п = 7 погрешность вычисления числа е составит менее 7,44 • 10

5 , или менее 0,01%.

Поскольку f (n) = cos ^x + //^ j,

Подстановка в формулу (10.12) приводит к разложению по формуле Мак- лорсна:

4. /(х) = In (1 + х).

Так как = (-1)"" 1 ^ /(0) = 0, / ы (0) = (-1)"“ 1 (/i -1)!; подстанов-

Читайте также:  Определение географических координат объектов на карте

ка в формулу (10.12) приводит к разложению функции In (1 + х) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):

5. /(1 + х) а , где а — вещественное число.

/ (х) = а (а — 1) (а — 2). (а — п + I) (I + х) а " я , т.е./ (я >(0) = а (а — 1). (а — п + 1), и формула Маклорена для данной функции имеет вид:

В частном случае, когда а = п — целое число,/ * = 0, и формула (10.17) переходит в формулу бинома Ньютона:

т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Маклорена.

Путем последовательного дифференцирования этой функции можно установить, что

Тогда формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

Формулы (10.13)—(10.17) и (10.19) представляют собой асимптотические формулы (или оценки) соответственно для функций е х , sin х, cosx, In (1 + х),

(1 + х) а и arctg х при х -» 0. Указанные асимптотические формулы эффективно используются при вычислении пределов функций. Покажем это на примерах.

Пример 5. Найти предел lim Sin * Х .

Применяя формулу (10.14) при п = 2, получаем:

п ^ ,, „ .. cos х — exp (-х 2 /2)

Пример 6. Найти предел lim——.

Используем формулы (10.13) при г =—и п = 2 и (10.15) при п = 2. Получаем

при подстановке в выражение под знаком предела:

Формулировка:

Если существует , то представима в следующем виде:

Это выражение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (или локальной формулой Тейлора)

Доказательство:

Для начала докажем Лемму

Пусть функции определены в окрестности точки и удовлетворяют следующим условиям:

Тогда существует точка , принадлежащая интервалу с концами и такая, что

Пусть, например, . Тогда применяя к функциям и на отрезке теорему Коши и учитывая, что по условию, получаем

Читайте также:  Узнать знаменитость по фотографии

Аналогично, применяя к функциям и на отрезке теорему Коши, находим

Из этих двух равенств следует, что

Применяя теорему Коши последовательно к функциям и , и ,…, и на соответствующих отрезках получаем

Равенство доказано для случая, когда , аналогично рассматривается случай, когда .

Теперь, когда лемма доказана, приступим к доказательству самой теоремы:

Из существования следует, что функция определена и имеет производные до порядка включительно в окрестности точки

Функции и удовлетворяют условиям леммы, если заменить номер на

Используя ранее доказанную лемму и учитывая, что получаем

Пусть , тогда из неравенств следует, что , и в силу существования существует

Так как выполняются равенства

Таким образом, правая часть формулы имеет при предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что , то есть , что и требовалось доказать.

Пример:

Разложить функцию в окрестности точки по Тейлору с остатком в форме Пеано.

Табличное разложение косинуса имеет следующий вид:

Представим функцию в виде:

Заменим в табличном разложении на и подставим представление косинуса.Получим

Источники:

  1. Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
  2. Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §18 с. 161.

Рассмотрим многочлен $n$-й степени

Его можно представить в виде суммы степеней $x$, взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его $n$ раз по переменной $x$, а затем найдем значения многочлена и его производных в точке $x=0$:

$P(x)=a_<0>+a_ <1>x+a_ <2>x^<2>+ldots+a_ x^ Rightarrow P(0)=a_ <0>Rightarrow a_<0>=P(0)$

$P^<(n)>(x)=n(n-1)(n-2) cdot ldots cdot 2 cdot 1 cdot a_ Rightarrow$

$Rightarrow P^<(n)>(0)=n(n-1)(n-2) cdot ldots cdot 2 cdot 1 cdot a_ Rightarrow a_=frac(0)>$

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена $P(x)$ степени $n$.

Читайте также:  Ошибка нехватки оперативной памяти

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен $P(x)$ по степеням разности $(x-a)$, где $a$ — любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена $P(x)$ в окрестности точки $a$.

Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию $y(x)=x^<2>+4 x-1$ в точке $x_<0>=2$.

Решение. Найдем производные:

Итак, $y^<(n)>(x)=0$, $y^<(n)>(2)=0$, $n geq 3$. Значение функции в точке

Ответ. $y(x)=11+8(x-2)+(x-2)^<2>$

Для произвольной функции $y=f(x)$, не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки $a$ принимает вид:

Последнее слагаемое $oleft((x-a)^
ight)$ называется остаточным членом в форме Пеано.

Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора при $a=0$.

Задание. Найти ряд Тейлора функции $y=e^$, где $k$ — некоторое действительное число, в окрестности точки $a=0$.

Решение. Так как ряд строится в окрестности точки $a=0$, то в этом случае надо построить ряд Маклорена. Найдем значение заданной функции и ее производных в указанной точке:

Ссылка на основную публикацию
Форд экоспорт белый фото
Компания Форд славится тем, что каждое обновление их машин несет в себе кучу перемен. Не стал исключением и недорогой городской...
Установка и настройка ip камеры
Системы видеонаблюдения используются давно. Старые аналоговые решения были дороги и громоздки. Они требовали большого количества дорогостоящего оборудования, квалифицированных специалистов и...
Установка и настройка операционной системы windows
Наши услуги УСТАНОВКА ОПЕРАЦИОННЫХ СИСТЕМ Определения: Операционная система (сокращенно ОС) – комплекс взаимосвязанных программ, предназначенных для управления ресурсами компьютера и...
Форм факторы корпусов пк размеры
Главная FAQ Железо Типы компьютерных корпусов Типы компьютерных корпусов Говоря слово "компьютер" многие подразумевают системный блок компьютера, и в принципе...
Adblock detector