Формула для нахождения кинетической энергии молекул газа

Формула для нахождения кинетической энергии молекул газа

Количество независимых переменных, которыми определяется состояние системы, называют числом степеней свободы. Для полной характеристики энергетического состояния движения материальной точки в момент времени t требуется задать три компоненты скорости для того, чтобы определить кинетическую энергию и три координаты, чтобы определить потенциальную энергию, получается всего необходимо шесть переменных. В случае динамического рассмотрения движения материальной точки эти переменные являются зависимыми. Статистическая система, которая состоит из n точек, имеет 6n степеней свободы. Из них 3n степеней свободы — носители кинетической энергии и 3n — носители потенциальной энергии, если система находится в поле внешних сил или частицы взаимодействуют между собой.

Степени свободы

Степени свободы делят на: поступательные, вращательные и колебательные. Три степени свободы материальной точки — поступательные. Система из n материальных точек, между которыми нет жестких связей имеет 3 n степени свободы. Каждая жесткая связь уменьшает число степеней свободы на единицу. Рассмотрим молекулу, состоящую из двух атомов, если считать, что между атомами существует одна жесткая связь, то такая молекула имеет пять степеней свободы, три поступательные и две вращательные. Если связь квазиупругая, то степеней свободы будет шесть, причем из них три поступательные, две вращательные и одна колебательная. Трехатомной нелинейной молекуле с жесткой связью между атомами нужно приписать шесть степеней свободы — три поступательные, три вращательные. Поступательные степен свободы не имеют преимуществ друг перед другом.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Средняя энергия молекулы

Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы на каждую степень свободы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия равная $leftlangle <varepsilon >_i
ight
angle =frac<1><2>kT$. В таком случае можно сказать, что средняя энергия молекулы $leftlangle <varepsilon >
ight
angle$ равна:

где $i=m_+m_+2m_$- сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы, $k$ — постоянная Больцмана, T- термодинамическая температура. Возникновение коэффициента 2 при подсчёте энергии колебаний объясняется просто: При колебаниях частица имеет как кинетическую, так и потенциальную энергии. Если колебания гармонические, то эти энергии в среднем равны друг другу. Соответственно, $leftlangle <varepsilon >_
ight
angle =kT$.

Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы является приближенным, так как получен на основе классической механики и нарушается, если существенными становятся квантовые эффекты.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Необходимо отметить, что поступательно могут двигаться только молекулы газов.

Из(1) следует, что одноатомные молекулы имеют среднюю кинетическую энергию:

Полную энергию i частицы можно представить:

где $U_ileft(x_i,y_i,z_i
ight)$- потенциальная энергия сложной частицы во внешних полях, $<xi >_$- отклонение от положения равновесия частицы при колебаниях, $<eta >_$- скорость колебательных движений частицы, первый индекс обозначает номер сложной частицы, второй определяет номер частицы внутри сложной, $v_i$ — скорость центра масс сложной частицы, $m_i$- масс частицы, $J_1,J_2,J_3$- моменты инерции вращения частицы, $w_1,w_2,w_3$ — угловые скорости вращения частицы относительно ее главных осей. Индекс j принимает столько значений, сколько необходимо, чтобы исчерпать все степени свободы сложной частицы.

Задание: Сравните средние энергии молекул кислорода и азота при одинаковых температурах.

Кислород имеет двухатомную молекулу ($O_2)$, предположим, что связь между атомами жесткая, следовательно, молекула кислорода обладает пятью степенями свободы (тремя поступательными и двумя вращательными). Из закона равномерного распределения энергии по степеням свободы имеем средняя энергия молекулы:

[leftlangle varepsilon
ight
angle =frac<2>kT o leftlangle <varepsilon >_
ight
angle =frac<5><2>kT left(1.1
ight)]

Азот имеет двухатомную молекулу ($N_2)$, предположим, что связь между атомами жесткая, следовательно, молекула азота также обладает пятью степенями свободы. Соответственно:

Ответ: Средние энергии молекул кислорода и азота при одинаковых температурах одинаковы.

Задание: Водород находится в сосуде при температуре T=300K. Определите среднюю энергию вращательного движения молекул.

Основой для решения задачи является закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Из него известно, что на каждую степень свободы приходится в среднем энергия $leftlangle <varepsilon >_i
ight
angle $, равная:

[leftlangle <varepsilon >_i
ight
angle =frac<1><2>kT left(2.1
ight).]

Следовательно, чтобы решить задачу, осталось определить, сколько вращательных степеней свободы имеет молекула водорода. Для этого вспомним химическую формулу водорода:

В молекуле имеется два атома, если молекула жесткая, то общее число степеней свободы такой молекулы будет равно пяти. Из них три приходятся на поступательные степени свободы, на вращательные степени свободы остается две степени. Соответственно:

Ответ: Средняя энергия вращательного движения молекул водорода при заданных условиях равна $4,14cdot <10>^<-21>Дж$.

Задание: Чему равна суммарная средняя кинетическая энергия молекул двухатомного газа, заключенного в объеме 4 л при давлении 1,47 $cdot <10>^5$Па? Молекулы считать жесткими.

Жесткие двухатомные молекулы имеют пять степеней свободы. Средняя энергия движения молекулы определяет формула:

[leftlangle varepsilon
ight
angle =frac<2>kT o leftlangle varepsilon
ight
angle =frac<5><2>kTleft(3.1
ight).]

Следовательно кинетическая энергия всех N молекул газа может быть найдена, как:

[leftlangle E
ight
angle =frac<5><2>NkT left(3.2
ight).]

[p=nkT, где n=frac o pV=NkTleft(3.3
ight).]

Подставим в (3.2) уравнение из (3.3), получим:

[leftlangle E
ight
angle =frac<5><2>pV left(3.4
ight).]

Переведем данные в СИ: V=4 л=4$cdot <10>^<-3>м^3$

Читайте также:  Как войти в фотострану через одноклассники

[leftlangle E
ight
angle =frac<5><2>1,47 cdot <10>^5cdot 4cdot <10>^<-3>=1470 (Дж)]

Ответ: Суммарная средняя кинетическая энергия молекул двухатомного газа при заданных условиях равна $1470 Дж.$

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Каждая молекула обладает кинетической энергией , так как находится в тепловом движении.

Средняя кинетическая энергия 〈 E k 〉 поступательного движения одной молекулы идеального газа рассчитывается по следующим формулам:

〈 E k 〉 = 3 2 k T , 〈 E k 〉 = m 0 〈 v кв 〉 2 2 ,

где k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10 −23 Дж/К; T — термодинамическая температура; m 0 — масса одной молекулы; 〈 v кв 〉 — среднеквадратичная скорость молекулы.

В Международной системе единиц средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы измеряется в джоулях (1 Дж).

Средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул идеального газа рассчитывается следующим образом:

〈 E 〉 = N 〈 E k 〉 = 3 2 N k T ,

где N — число молекул газа; 〈 E k 〉 — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы; k — постоянная Больцмана, k ≈ 1,38 ⋅ 10 −23 Дж/К; T — термодинамическая (абсолютная) температура газа.

Среднеквадратичная скорость молекул идеального газа может быть определена по одной из формул:

〈 v кв 〉 = 3 k T m 0 ; 〈 v кв 〉 = 3 R T M ; 〈 v кв 〉 = 3 p ρ ,

где m 0 — масса одной молекулы; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ K); M — молярная масса газа; p — давление газа; ρ — плотность газа.

В Международной системе единиц среднеквадратичная скорость измеряется в метрах в секунду (1 м/с).

Пример 4. На сколько процентов возрастет средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа при увеличении его температуры от 7,0 до 35 °С?

Решение . Искомой величиной является отношение

η = Δ E E 1 ⋅ 100 % ,

где Δ E — абсолютное увеличение средней кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа при указанном повышении температуры, Δ E = E 2 − E 1 ; E 1 и E 2 — средние кинетические энергии поступательного движения молекулы идеального газа при температурах T 1 и T 2 соответственно.

Преобразуем это отношение следующим образом:

η = E 2 − E 1 E 1 ⋅ 100 % = ( E 2 E 1 − 1 ) ⋅ 100 % .

Для определения средней кинетической энергии молекул необходимо перевести температуру из градусов Цельсия в кельвины:

T 1 = t 1 + 273 = 7,0 + 273 = 280 K;

T 2 = t 2 + 273 = 35 + 273 = 308 K.

Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы газа при указанных температурах запишем в следующем виде:

  • для начальной температуры —
  • для конечной температуры —

где k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10 −23 Дж/К.

Подстановка полученных выражений в формулу для вычисления η дает:

η = ( E 2 E 1 − 1 ) ⋅ 100 % = ( 3 k T 2 2 ⋅ 2 3 k T 1 − 1 ) ⋅ 100 % = ( T 2 T 1 − 1 ) ⋅ 100 % .

η = ( T 2 T 1 − 1 ) ⋅ 100 % = ( 308 280 − 1 ) ⋅ 100 % = 10 % .

Следовательно, при указанном повышении температуры средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа увеличилась на 10 %.

Пример 5. Кислород и водород одинаковой температуры имеют молярные массы 32 и 2,0 г/моль соответственно. Во сколько раз среднеквадратичная скорость молекул кислорода меньше, чем среднеквадратичная скорость молекул водорода?

Решение . Среднеквадратичная скорость молекул газа определяется его температурой и зависит от молярной массы газа:

где R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — термодинамическая (абсолютная) температура газа; M — молярная масса газа.

Среднеквадратичные скорости молекул указанных в условии газов определяются выражениями:

〈 v кв 1 〉 = 3 R T M 1 ,

где M 1 — молярная масса кислорода;

〈 v кв 2 〉 = 3 R T M 2 ,

где M 2 — молярная масса водорода.

Искомой величиной является отношение

〈 v кв 2 〉 〈 v кв 1 〉 = 3 R T M 2 ⋅ M 1 3 R T = M 1 M 2 .

Расчет дает значение

〈 v кв 2 〉 〈 v кв 1 〉 = 32 ⋅ 10 − 3 2,0 ⋅ 10 − 3 = 16 = 4,0 .

При одинаковой температуре среднеквадратичная скорость молекул водорода в 4 раза превышает среднеквадратичную скорость молекул кислорода.

Пример 6. Аргон молярной массой 40,0 г/моль находится под давлением 20,0 кПа. Концентрация молекул аргона при указанном давлении составляет 3,00 ⋅ 10 25 м −3 . Определить среднеквадратичную скорость молекулы аргона.

Решение . Среднеквадратичная скорость молекул газа может быть вычислена по формуле

где p — давление газа; ρ — плотность газа.

Давление аргона задано в условии задачи. Установим связь между плотностью аргона и его концентрацией.

Концентрация — это число молекул (атомов) в единице объема:

где N — число атомов аргона в объеме V , N = ν N A ; ν — количество вещества (аргона), ν = m / M ; m — масса аргона, m = ρ V ; M — молярная масса аргона.

С учетом выражений для числа молекул аргона, количества вещества и его массы преобразуем формулу для вычисления концентрации к виду

n = ν N A V = m ⋅ N A M ⋅ V = ρ N A M ,

где ρ — плотность аргона.

Выразим отсюда плотность

и подставим в формулу для среднеквадратичной скорости:

〈 v кв 〉 = 3 p N A n M .

〈 v кв 〉 = 3 ⋅ 20,0 ⋅ 10 3 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 3,00 ⋅ 10 25 ⋅ 40,0 ⋅ 10 − 3 = 3,01 ⋅ 10 4 = 173 м/с.

Повседневный опыт показывает, что недвижимые тела можно привести в движение, а движимые остановить. Мы с вами постоянно что-то делаем, мир вокруг суетится, светит солнце. Но откуда у человека, животных, да и у природы в целом берутся силы для выполнения этой работы? Исчезает ли механическое движение бесследно? Начнет ли двигаться одно тело без изменения движения другого? Обо всем этом мы расскажем в нашей статье.

Читайте также:  Фат 32 или нтфс для флешки

Понятие энергии

Для работы двигателей, которые придают движение автомобилям, тракторам, тепловозам, самолетам, нужно топливо, которое является источником энергии. Электродвигатели придают движение станкам при помощи электроэнергии. За счет энергии воды, падающей с высоты, оборачиваются гидротурбины, соединенные с электрическими машинами, производящими электрический ток. Человеку для того, чтобы существовать и работать, также нужна энергия. Говорят, что для того, дабы выполнять какую-нибудь работу, необходима энергия. Что же такое энергия?

  • Наблюдение 1. Поднимем над землей мяч. Пока он пребывает в состоянии спокойствия, механическая работа не выполняется. Отпустим его. Под действием силы тяжести мяч падает на землю с определенной высоты. Во время падения мяча выполняется механическая работа.
  • Наблюдение 2. Сомкнем пружину, зафиксируем ее нитью и поставим на пружину гирьку. Подожжем нить, пружина распрямится и поднимет гирьку на некую высоту. Пружина выполнила механическую работу.
  • Наблюдение 3. На тележку закрепим стержень с блоком в конце. Через блок перекинем нить, один конец которой намотан на ось тележки, а на другом висит грузик. Отпустим грузик. Под действием силы тяжести он будет опускаться книзу и придаст тележке движение. Грузик выполнил механическую работу.

После анализа всех вышеперечисленных наблюдений можно сделать вывод, что если тело или несколько тел во время взаимодействия выполняют механическую работу, то говорят, что они имеют механическую энергию, либо энергию.

Понятие энергии

Энергия (от греч. слова энергия — деятельность) — это физическая величина, которая характеризирует способность тел выполнять работу. Единицей энергии, а также и работы в системе СИ является один Джоуль (1 Дж). На письме энергия обозначается буквой Е. Из вышеуказанных экспериментов видно, что тело выполняет работу тогда, когда переходит из одного состояния в другое. Энергия тела при этом меняется (уменьшается), а выполненная телом механическая работа равна результату изменения ее механической энергии.

Виды механической энергии. Понятие потенциальной энергии

Различают 2 вида механической энергии: потенциальную и кинетическую. Сейчас подробнее рассмотрим потенциальную энергию.

Потенциальная энергия (ПЭ) — это энергия, определяющаяся взаимным положением тел, которые взаимодействуют, либо частями того самого тела. Поскольку любое тело и земля притягивают друг друга, то есть взаимодействуют, ПЭ тела, поднятого над землей, будет зависеть от высоты поднятия h. Чем выше поднято тело, тем больше его ПЭ. Экспериментально установлено, что ПЭ зависит не только от высоты, на которую оно поднято, но и от массы тела. Если тела были подняты на одинаковую высоту, то тело, имеющее большую массу, будет иметь и большую ПЭ. Формула данной энергии выглядит следующим образом: Eп = mgh, где Eп — это потенциальна энергия, m — масса тела, g = 9,81 Н/кг, h — высота.

Потенциальная энергия пружины

Потенциальной энергией упруго деформированного тела называют физическую величину Eп, которая при изменении скорости поступательного движения под действием сил упругости уменьшается ровно на столько, на сколько растет кинетическая энергия. Пружины (как и другие упруго деформированные тела) имеют такую ПЭ, которая равна половине произведения их жесткости k на квадрат деформации: x = kx 2 : 2.

Энергия кинетическая: формула и определение

Иногда значение механической работы можно рассматривать без употребления понятий силы и перемещения, акцентировав внимание на том, что работа характеризует изменение энергии тела. Все, что нам может потребоваться, — это масса некоего тела и его начальная и конечная скорости, что приведет нас к кинетической энергии. Кинетическая энергия (КЭ) — это энергия, принадлежащая телу вследствие собственного движения.

Кинетическую энергию имеет ветер, ее используют для придания движения ветряным двигателям. Движимые массы воздуха оказывают давление на наклонные плоскости крыльев ветряных двигателей и заставляют их оборачиваться. Вращательное движение при помощи систем передач передается механизмам, выполняющим определенную работу. Движимая вода, оборачивающая турбины электростанции, теряет часть своей КЭ, выполняя работу. Летящий высоко в небе самолет, помимо ПЭ, имеет КЭ. Если тело пребывает в состоянии покоя, то есть его скорость относительно Земли равна нулю, то и его КЭ относительно Земли равна нулю. Экспериментально установлено, что чем больше масса тела и скорость, с которой оно движется, тем больше его КЭ. Формула кинетической энергии поступательного движения в математическом выражении следующая:

Где К — кинетическая энергия, m — масса тела, v — скорость.

Изменение кинетической энергии

Поскольку скорость движения тела является величиной, зависящей от выбора системы отсчета, значение КЭ тела также зависит от ее выбора. Изменение кинетической энергии (ИКЭ) тела происходит вследствие действия на тело внешней силы F. Физическую величину А, которая равна ИКЭ ΔЕк тела вследствие действия на него силы F, называют работой: А = ΔЕк. Если на тело, которое движется со скоростью v1, действует сила F, совпадающая с направлением, то скорость движения тела вырастет за промежуток времени t к некоторому значению v2. При этом ИКЭ равно:

Где m — масса тела; d — пройденный путь тела; Vf1 = (V2 — V1); Vf2 = (V2 + V1); a = F : m. Именно по этой формуле высчитывается, на сколько изменяется энергия кинетическая. Формула также может иметь следующую интерпретацию: ΔЕк = Flcos, где cosά является углом между векторами силы F и скорости V.

Средняя кинетическая энергия

Кинетическая энергия представляет собой энергию, определяемую скоростью движения разных точек, которые принадлежат этой системе. Однако следует помнить, что необходимо различать 2 энергии, характеризующие разные виды движения: поступательное и вращательное. Средняя кинетическая энергия (СКЭ) при этом является средней разностью между совокупностью энергий всей системы и ее энергией спокойствия, то есть, по сути, ее величина — это средняя величина потенциальной энергии. Формула средней кинетической энергии следующая:

Читайте также:  Hyperx cloud revolver микрофон

где k — это константа Больцмана; Т — температура. Именно это уравнение является основой молекулярно-кинетической теории.

Средняя кинетическая энергия молекул газа

Многочисленными опытами было установлено, что средняя кинетическая энергия молекул газа в поступательном движении при заданной температуре одна и та же, и не зависит от рода газа. Кроме того, было установлено также, что при нагревании газа на 1 о С СКЭ увеличивается на одно и то же самое значение. Сказать точнее, это значение равно: ΔЕк = 2,07 х 10 -23 Дж/ о С. Для того чтобы вычислить, чему равна средняя кинетическая энергия молекул газа в поступательном движении, необходимо, помимо этой относительной величины, знать еще хотя бы одно абсолютное значение энергии поступательного движения. В физике достаточно точно определены эти значения для широкого спектра температур. К примеру, при температуре t = 500 о С кинетическая энергия поступательного движения молекулы Ек = 1600 х 10 -23 Дж. Зная 2 величины (ΔЕк и Ек), мы можем как вычислить энергию поступательного движения молекул при заданной температуре, так и решить обратную задачу — определить температуру по заданным значениям энергии.

Напоследок можно сделать вывод, что средняя кинетическая энергия молекул, формула которой приведена выше, зависит только от абсолютной температуры (причем для любого агрегатного состояния веществ).

Закон сохранения полной механической энергии

Изучение движения тел под действием силы тяжести и сил упругости показало, что существует некая физическая величина, которую называют потенциальной энергией Еп; она зависит от координат тела, а ее изменение приравнивается ИКЭ, которая взята с противоположным знаком: ΔЕп = ΔЕк. Итак, сумма изменений КЭ и ПЭ тела, которые взаимодействуют с гравитационными силами и силами упругости, равна : ΔЕп + ΔЕк = 0. Силы, которые зависят только от координат тела, называют консервативными. Силы притяжения и упругости являются консервативными силами. Сумма кинетической и потенциальной энергий тела является полной механической энергией: Еп + Ек = Е.

Этот факт, который был доказан наиболее точными экспериментами,
называют законом сохранения механической энергии. Если тела взаимодействуют силами, которые зависят от скорости относительного движения, механическая энергия в системе взаимодействующих тел не сохраняется. Примером сил такого типа, которые называются неконсервативными, являются силы трения. Если на тело действуют силы трения, то для их преодоления необходимо затратить энергию, то есть ее часть используется на выполнение работы против сил трения. Однако нарушение закона сохранения энергии здесь только мнимое, потому что он является отдельным случаем общего закона сохранения и преобразования энергии. Энергия тел никогда не исчезает и не появляется вновь: она лишь преобразуется из одного вида в другой. Этот закон природы очень важен, он выполняется повсюду. Его еще иногда называют общим законом сохранения и преобразования энергии.

Связь между внутренней энергией тела, кинетической и потенциальной энергиями

Внутренняя энергия (U) тела — это его полная энергия тела за вычетом КЭ тела как целого и его ПЭ во внешнем поле сил. Из этого можно сделать вывод, что внутренняя энергия состоит из КЭ хаотического движения молекул, ПЭ взаимодействия между ними и внутремолекулярной энергии. Внутренняя энергия — это однозначная функция состояния системы, что говорит о следующем: если система находится в данном состоянии, ее внутренняя энергия принимает присущие ему значения, независимо от того, что происходило ранее.

Релятивизм

Когда скорость тела близка к скорости света, кинетическую энергию находят по следующей формуле:

Кинетическая энергия тела, формула которой была написана выше, может также рассчитываться по такому принципу:

Примеры задач по нахождению кинетической энергии

1. Сравните кинетическую энергию шарика массой 9 г, летящего со скоростью 300 м/с, и человека массой 60 кг, бегущего со скоростью 18 км/час.

Итак, что нам дано: m1 = 0,009 кг; V1 = 300 м/с; m2 = 60 кг, V2 = 5 м/с.

Ответ: N = (mω 2 R) : (4πFтр).

В заключение

Энергия — это важнейшая составляющая во всех аспектах жизни, ведь без нее никакие тела не смогли бы выполнять работу, в том числе и человек. Думаем, статья вам внятно дала понять, что собой представляет энергия, а развернутое изложение всех аспектов одной из ее составляющих — кинетической энергии — поможет вам осознать многие процессы, происходящих на нашей планете. А уж о том, как найти кинетическую энергию, вы можете узнать из приведенных выше формул и примеров решения задач.

Ссылка на основную публикацию
Форд экоспорт белый фото
Компания Форд славится тем, что каждое обновление их машин несет в себе кучу перемен. Не стал исключением и недорогой городской...
Установка и настройка ip камеры
Системы видеонаблюдения используются давно. Старые аналоговые решения были дороги и громоздки. Они требовали большого количества дорогостоящего оборудования, квалифицированных специалистов и...
Установка и настройка операционной системы windows
Наши услуги УСТАНОВКА ОПЕРАЦИОННЫХ СИСТЕМ Определения: Операционная система (сокращенно ОС) – комплекс взаимосвязанных программ, предназначенных для управления ресурсами компьютера и...
Форм факторы корпусов пк размеры
Главная FAQ Железо Типы компьютерных корпусов Типы компьютерных корпусов Говоря слово "компьютер" многие подразумевают системный блок компьютера, и в принципе...
Adblock detector