Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса

Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса

УСЛОВИЕ:

5) Найти уравнение гиперболы, зная, что ее эксцентриситет ε = 2, фокусы гиперболы совпадают с фокусом эллипса x^2/10 + y^2 = 1.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Каноническое уравнение эллипса
(x^2/10) + y^2 = 1
a=sqrt(10)
b=1
b^2=a^2-c^2 ⇒ c^2=a^2-b^2=10-1=9
Фокусы эллипса
F_(1)(-3;0) и F_(2)=(3;0)

Фокусы гиперболы
F_(1)(-3;0) и F_(2)=(3;0)
эксцентриситет гиперболы ε=с/a ⇒
2=3/a ⇒ a=3/2
b^2=c^2-a^2=3^2-(3/2)^2=9-(9/4)=27/4

О т в е т. (x^2/(3/2)^2)-(y^2/(3sqrt(3)/2)^2)=1
или
108x^2-36y^2=243

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению | r 1r 2 | = 2 a . F 1 , F 2 – фокусы. F 1 F 2 = 2 c .

Выберем на кривой произвольную точку М(х, у). Тогда :

обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы. Кривая симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью.

Ось 2 b называется мнимой осью.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с 2 – а 2 = b 2

:

Если а = b , e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами . Их уравнения:

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r / d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично кривую.

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a / e + d = x , следовательно d = x – a / e .

( x – c ) 2 + y 2 = r 2

Из канонического уравнения: , с учетом b 2 = c 2 – a 2 :

Тогда т.к. с/ a = e , то r = ex – a .

Итого:

Для левой ветви доказательство аналогично. Теорема доказана

Читайте также:  Видео как заблокировать страницу в контакте

Пример 1 . Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса

Для эллипса: c 2 = a 2 – b 2 . Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 .

Искомое уравнение :

Пример 2 . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c 2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 = 16, e = c / a = 2; c = 2 a ; c 2 = 4 a 2 ; a 2 = 4;

Итого: — искомое уравнение. Copyright © 2004-2020

8.6. Упражнения для самостоятельной работы

1. Составить уравнение окружности, если она проходит через точку (4, -2), а её центр находится в точке (2, -7).

2. Найти уравнение окружности, проходящей через точки A(2, 2), B(4, -2),C(-2, -10).

3. Составить уравнение эллипса, центр которого находится в начале координат, один из фокусов — в точке F1(2, 0), а эксцентриситет равен 3

4. Найти полуоси эллипса, фокусы которого находятся в точках F1(3, -1), F2(-5, -7), а расстояние между директрисами равно 18.

5. Найти уравнение гиперболы, если известны координаты центра 0(0, 0), одного из фокусов F(7, 0) и одной из вершин A(6, 0).

6. Найти фокусы гиперболы, заданной уравнением .

7. Найти уравнение гиперболы, если её фокусы совпадают с фокусами эллипса . а эксцентриситет в 1,75 раза больше, чем эксцентриситет этого эллипса.

8. Найти эксцентриситет гиперболы, у которой асимптоты взаимно перпендикулярны.

9. Найти уравнение гиперболы, если известна одна её точка M и уравнения асимптот .

10. Найти вершину A, фокус F и уравнение директрисы d параболы .

11. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если она симметрична относительно оси OX и проходит через точку (-2, 4). Найти координаты фокуса и уравнение директрисы.

12. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Записать формулы преобразования координат. Сделать чертёж.

Читайте также:  Замена впитывающей чернила подкладки epson l110

13. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Записать формулы преобразования координат. Сделать чертёж.

14. Найти полуоси эллипса, по которому плоскость z — 3 = 0 пересекает эллипсоид.

Ссылка на основную публикацию
Установка и настройка ip камеры
Системы видеонаблюдения используются давно. Старые аналоговые решения были дороги и громоздки. Они требовали большого количества дорогостоящего оборудования, квалифицированных специалистов и...
Узнать историю своих предков по фамилии
История собственной семьи вызывает интерес каждого человека. Слушая семейные легенды, люди нередко увлекаются судьбой своих предков, составляют генеалогическое дерево, стараясь...
Узнать откуда пришло заказное письмо по номеру
Многим гражданам периодически приходит корреспонденция, сопровождаемая извещениями, в которых содержится скудная информация, не дающая представления об отправителе. В случае невозможности...
Установка и настройка операционной системы windows
Наши услуги УСТАНОВКА ОПЕРАЦИОННЫХ СИСТЕМ Определения: Операционная система (сокращенно ОС) – комплекс взаимосвязанных программ, предназначенных для управления ресурсами компьютера и...
Adblock detector