Две стороны остроугольного треугольника

Две стороны остроугольного треугольника

УСЛОВИЕ:

Две стороны остроугольного треугольника равны 3 и 4, а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону этого треугольника.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Пусть АВ=4; ВС=3
Медиана АР делит сторону ВС пополам. ВР=РС=1,5
Медиана СК делит сторону АВ пополам. АК=КВ=2

Пусть АР=3х; СК=3у
Медианы АР и СК пересекаются в точке М под прямым углом. Значит Все 4 угла при точке М равны 90 градусов.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
РМ=х
АМ=2х
КМ=у
СМ=2у
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
РМС:
х^2+(2y)^2=1,5^2
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
AMK:
(2х)^2+y^2=2^2
или

<4x^2+y^2=4
Складываем
5x^2+5y^2=6,25
x^2+y^2=1,25

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
АМС
АС^2=(2x)^2+(2y)^2
AC^2=4x^2+4y^2
AC^2=4*(x^2+y^2)
AC^2=4*1,25
AC^2=5
AC=sqrt(5)
О т в е т. sqrt(5)

Версия системы:
7.88 (11.04.2020)
JS-v.1.44 | CSS-v.3.39

Общие новости:
13.04.2020, 00:02

Последний вопрос:
14.04.2020, 11:07
Всего: 152028

Последний ответ:
14.04.2020, 11:45
Всего: 259982

Последняя рассылка:
14.04.2020, 05:15

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 999
Михаил Александров
Статус: Академик
Рейтинг: 737
CradleA
Статус: Профессор
Рейтинг: 569
Перейти к консультации №:

Найти третью сторону остроугольного треугольника, если две его стороны равны а и b и известно, что медианы этих сторон пересекаются под прямым углом.

Состояние: Консультация закрыта

Обозначим через 2x и 2y отрезки медиан, проведенных к сторонам a и b соответственно, заключенные между вершинами, из которых они проведены, и точкой их пересечения. Тогда, по свойству медианы, оставшиеся части медиан будут соответственно равны x и y.

Читайте также:  История создания сотовых телефонов

Применяя теорему Пифагора (медианы перпендикулярны по условию), получим два уравнения:
4x 2 + y 2 = b 2 )/4,
x 2 + 4y 2 = a 2 )/4.

Умножая второе уравнение на 4 и отнимая от него первое, получим
15y 2 = a 2 – b 2 /4,
y 2 = (1/15)(a 2 – b 2 /4).

Умножая первое уравнение на 4 и отнимая от него второе, получим
15x 2 = b 2 – a 2 /4,
x 2 = (1/15)(b 2 – a 2 /4).

Поскольку
4x 2 + 4y 2 = c 2 ,
постольку
c 2 = 4(1/15)(b 2 – a 2 /4 + a 2 – b 2 /4) = (1/5)(a 2 + b 2 ).
c = √[(1/5)(a^2 + b^2)].

Ответ: c = √[(1/5)(a 2 + b 2 )].

0

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Ответ

Проверено экспертом

Пусть АВ=20; ВС=15
Медиана АР делит сторону ВС пополам. ВР=РС=7,5
Медиана СК делит сторону АВ пополам. АК=КВ=10

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть медианы пересекаются в точке М. Тогда:
РМ=х
АМ=2х
КМ=у
СМ=2у
Из прямоугольного треугольника РМС:
х ²+(2y)² =7,5 ²
Из прямоугольного треугольника AMK:
(2х) ²+y²=10²
Решаем систему уравнений методом сложения:
<4x ² +y ² =100
5x ² +5y ² =156,25
x ² +y ² =31,25

Из прямоугольного треугольника АМС
АС 2=(2x) ² +(2y) ² =4x ² +4y ² =4*(x ²+y² )=4· 31,25=125
AC=√ 125=5√ 5
О т в е т. 5√ 5.

Ссылка на основную публикацию
Герметик для питьевой воды
Силиконовые материалы всегда востребованы в хозяйстве. Особое внимание уделяется местам, где проводится герметизация мест, контактирующих с едой. Для таких целей...
Восстановление загрузчика windows 10 после установки ubuntu
Если после установки второй ОС, попыток воспользоваться свободным местом на скрытых разделах диска или их форматирования, в случае системных сбоев,...
Восстановление паролей для андроид
Установка пароля – это прекрасный способ обезопасить свое устройство. Однако порой случается так, что владелец может забыть пароль. Что же...
Гзм 155 1 характеристики
1. Номинальный диапазон воспроизводимых частот, Гц 20-20000 31,5-16000 20-20000 20-17000 20-18000 20-20000 20-20000 20-20000 10-25000 10-25000 2. Прижимная сила звукоснимателя,...
Adblock detector