Что значит продифференцировать функцию

Что значит продифференцировать функцию

Если перед Вами встала задача отыскания производной некоторой функции одной переменной, то эта статья, несомненно, укажет направление решения.

Здесь мы попытались представить общий взгляд на применение всей обширной теории дифференцирования к нахождению производной. Так как дифференцировать приходится функции с различным способом задания (в явном, неявном, параметрическом виде) и всякой степени сложности (основные элементарные, сложные, элементарные), то и подходы к решению подбираются в зависимости от ситуации.

В этой таблице собрана абсолютно вся информация, необходимая при дифференцировании функции. Немного поясним ее содержание.

В простейших случаях продифференцировать функцию можно с использованием определения производной, то есть, вычислив соответствующий предел. Этот метод можно назвать непосредственным дифференцированием.

Если Вам потребовалось найти производную одной из основных элементарных функций, то все они собраны в таблице основных производных и доказаны на основании определения. Так что смело пользуйтесь этой таблицей и держите ее перед глазами.

При нахождении производных суммы, разности функций, их произведения или отношения к Вашим услугам правила дифференцирования. Их приходится использовать почти в каждой задаче. Если к таблице производных и правилам дифференцировани добавить формулу нахождения производной сложной функции, то вмести они позволят дифференцировать любую элементарную функцию, заданную в явном виде .

Для дифференцирования показательно степенной функции очень удобно использовать логарифмическую производную. С ее помощью достаточно просто находятся и производные громоздких дробей.

Если функция представлена параметрическим способом , то ее дифференцирование подробно описано в разделе производная параметрически заданной функции.

Существует несколько способов дифференцирования неявно заданной функции вида . Можно найти производные от обеих частей равенства, считая y функцией от x , и разрешить полученное уравнение относительно производной. Производная неявно заданной функции также может быть найдена с использованием понятия частных производных.

Читайте также:  Расширение для смены ip в яндекс браузере

Дифференцируемость функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b), x-некоторая фиксированное значение аргумента из указанного интервала, x-любое приращение аргумента.

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x, если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде y=Ax + x, где А — некоторое число, не зависящее от x, а — функция аргументаx, является бесконечно малой при x0.

Теорема. Для того чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: 1) Необходимость: пусть функция y=f(x) дифференцируема в данной точке x, то есть ее приращение y в этой точке представимо в виде y=Ax + x. Предположив, что x#0 поделим это равенство на x. Получим =A+. Из этого равенства вытекает существование производной, т.е.lim(x0)=A

2) Достаточность: пусть функция y=f(x) имеет в данной точке x конечную производную, т.е. существует предельное значение lim(x0) =f ’(x)

В силу определения предельного значения функция =-f’’(x) аргумента x является бесконечно малой при x0, т.е. y= f’’(x) x +x, где lim(x0)=0. Это представление совпадает с представлениемy=Ax + x, если обозначать через А не зависящее от x число f’’(x). Т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x.

Теорема. Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке:

[ u(x) ]’ = u’(x)v’(x),

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала.

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точке локальный экстремум, то f ’(c)=0.

Читайте также:  Прохождение игры найди слова

Опр. локального max(min): Говорят, что функция y=f(x) имеет в точке c локальный max(min), если найдется такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этих функций.

В основные правила дифференцирования функций входят вынесение констант за знак производной, сумма и разность, умножение и деление функций:

  1. Константу можно вынести за знак производной: $$ (C f(x) )’ = C( f(x))’ $$
  2. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ ( f(x) pm g(x))’ = ( f(x))’ pm (g(x))’ $$
  3. Дифференцирование произведения двух функций выполняется по формуле: $$ ( f(x) cdot g(x))’ = ( f(x))’ cdot g(x) + f(x) cdot (g(x))’ $$
  4. Дифференцирование частного двух функций выполняется по формуле: $$ igg (fracigg )’ = frac<( f(x))’ cdot g(x) — f(x) cdot (g(x))’><(g(x))^2>$$
Пример 1
С помощью основных правил дифференцирования найти производную: $$ y = 3sin x $$
Решение

Так как присутствует константа, то по первому правилу дифференцирования можно вынести её за знак производной, а затем по таблице $ (sin x)’ = cos x $:

$$ y’ = (3sin x)’ = 3 (sin x)’ = 3 cos x $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ y’ = 3cos x $$

По второму правилу дифференцирования производная суммы функций равна сумме производных:

$$ y’ = (x^5 + cos x )’ = (x^5)’ + (cos x)’ = $$

Первое слагаемое дифференцируем по правилу степенной функции $ (x^p)’ = px^ $:

Производная косинуса равна:

Объединяем в сумму:

$$ y’ = (x^5 + cos x)’ = (x^5)’ + (cos x)’ = 5x^4 — sin x $$

Пример 2
Найти производную суммы функций $ y = x^5 + cos x $
Решение
Ответ
$$ y’ = 5x^4 — sin x $$
Читайте также:  Как отключить услугу уроки русского языка

По третьему правилу дифференцирования произведения двух функций расписываем:

$$ y’ = (xln x)’ = (x)’ ln x + x (ln x)’ = $$

$$ = 1 cdot ln x + x cdot frac<1> = ln x + 1 $$

Пример 3
Найти производную произведения функций: $ y = xln x $
Решение
Ответ
$$ y’ = ln x + 1 $$

Используя четвертое правило дифференцирования частного двух функций получаем:

Пример 4
Найти производную дроби $ y = frac<sin x> $
Решение
Ответ
$$ y’ = frac $$

Используя основные правила дифференцирования можно находить большинство производных функций.

Ссылка на основную публикацию
Что делать если взломали сим карту
Подавляющее большинство современных телефонов оборудовано лотком под сим-карту, вытащить который очень легко с помощью скрепки или иглы. Какие-то телефоны после...
Чем мобильное приложение лучше сайта
Согласно последним данным, ежегодный прирост мобильной экономики составляет 10%, и уже около 20% всех продаж через ПК осуществляются после клика...
Чем можно заменить майл агент
Альтернативы Mail.Ru Агент Обзоры и новости о Mail.Ru Агент 2015. Mail.Ru Агент уступит место ICQ Оба популярных российских мессенджера Mail.ru...
Что делать если забыл название игры
В сообществе Лига Геймеров очень часто всплывают посты "Помогите найти игру". Там их не очень жалуют. Для этого и создано...
Adblock detector