Численное интегрирование метод прямоугольников

Численное интегрирование метод прямоугольников

Тема 1.4. Численное интегрирование

1.4.1. Постановка задачи

1.4.2. Метод прямоугольников

1.4.3. Формула трапеций

1.4.4. Формула Симпсона

1.4.5. Оценка погрешности численного интегрирования

1.4.6. Тестовые задания по теме «Численное интегрирование»

Постановка задачи

Из курса математического анализа известно, что, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема, то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Если первообразную функцию F(x) не удается выразить аналитически через элементарные функции или если при проведении практических расчетов подынтегральная функция f(x) задается в виде таблицы, то это приводит к необходимости замены аналитического интегрирования численными методами.

Для функции f(x), заданной в прямоугольной системе координат на интервале [a;b], этот интеграл численно равен площади, ограниченной кривой f(x), осью Ox и двумя ординатами ac и bd.

Задача численного интегрирования заключается в нахождении значения определенного интеграла через ряд значений подынтегральной функции yi=f(xi), заданной в точках xi (i=0,1,…,n). Причем, x = a, xn= b. Чаще всего интервал разбивают на подынтервалы длинойh = xi+1 — xi.

Применительно к однократному интегралу, формулы численного интегрирования представляют собой квадратурные формулы вида:

гдеAi – числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, аxi – точки из отрезка — узлами квадратурной формулы, n> 0 – целое число.

Искомый определенный интеграл можно представить в виде суммы интегралов:

На каждом i-м отрезке функция аппроксимируется(заменяется) некоторой другой легко интегрируемой функцией gi(x). В результате получаем следующую квадратурную формулу:

.

Для решения поставленной задачи подынтегральнуюфункцию f(x)необходимо заменить приближенной функцией, которая может быть проинтегрирована в аналитическим виде. В качестве такой функции обычно используют полином Р(х)с узлами интерполяции в точках х, х1, х2, …,хn. В этих точках значения функции и интерполяционного полинома полностью совпадают f(xi) = Р(xi).

Для получения простых формул интегрирования используют полиномы нулевой, первой и второй степени и соответственно получают формулы численного интегрирования: прямоугольников, трапецийиСимпсона.

Очевидно, что замена функции f(x) интерполирующим полиномом приводит к образованию погрешности вычисления значения интеграла

где I1 – точное значение интеграла, I – значение интеграла, вычисленного численным методом, а – погрешность метода.

Отметим, что увеличение числа подынтервалов n (или уменьшение длины шага интегрирования h) ведет к уменьшению погрешности.

Метод прямоугольников

Заменим подынтегральную функцию f(x) в пределах элементарного отрезка [xi;xi+1] интерполяционным многочленом нулевой степени (рис.1.4.2-1), то есть постоянной величиной, равной либо f(xi), либо f(xi+1).

Значение элементарного интеграла равно площади прямоугольника, в первом случае
I = h∙f(xi), а во втором I = h∙f(xi+1), где h = xi+1 — xi. Для определения значения интеграла на отрезке [a;b] найдем суммы элементарных интегралов, взяв в первом случае в качестве
f(x)– значение подынтегральной функции в левом конце i-го отрезка, а во втором – в правом конце отрезка:

Читайте также:  D link dns 320l инструкция на русском

(1.4.2-1)
(1.4.2-2)

Формула (1.4.2-1) называется формулой левых прямоугольников, а формула
(1.4.-2.2) – формулой правых прямоугольников.

Для вычисления определенного интеграла может быть использована и формула средних прямоугольников (1.4.2-3), в которой на элементарном отрезке интегрирования функция f(x)тоже заменяется интерполяционным многочленом нулевой степени, но равным значению функции в середине отрезка:

(1.4.2-3)

Схема алгоритма метода средних прямоугольников приведена на рис. 1.4.2-2.

Рис. 1.4.2-2. Схема алгоритма интегрирования по методу средних прямоугольников с

использованием правила Рунге

Формула трапеций

Разобьем интервал интегрирования [a;b] на n равных отрезков (рис. 1.4.3-1) и восстановим из полученных точек a, х1, x2, …, bперпендикуляры до пересечения с графиком функции. Соединив последовательно точки пересечения, представим площадь полученной криволинейной трапеции как сумму прямолинейных трапеций, площади которых легко подсчитать. Заменив подынтегральную функцию f(x)в пределах элементарного отрезка [xi;xi+1] интерполяционным многочленом первой степени, получим следующие формулы для элементарных площадей:

Тогда общая площадь равна:

Отсюда получаем формулу трапеций:

(1.4.3-1)

Схема алгоритма метода трапеций приведена на рис. 1.4.3-2.

Рис. 1.4.3-2. Схема алгоритма интегрирования по методу трапеции с использованием

Формула Симпсона

Для получения формулы Симпсона применяется квадратичный интерполирующий полином, следовательно, за элементарный интервал интегрирования принимается отрезок [xi;xi+2]. Поэтому разобьем интервал интегрирования [a;b] наn отрезков, где n=2m – четное число (рис. 1.4.4-1).

Для получения интерполирующей функции на интервале [xi;xi+2] воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона, используя в качестве узлов интерполяции точки xi, хi+1 и xi+2.

(1.4.4-1)

В пределах отрезка [xi;xi+2], на котором подынтегральная функция аппроксимирована многочленом (1.4.4-1), получим приближенную формулу Симпсона:

(1.4.4-2)

Для отрезка [x;x2]

Для отрезка [x2;x4]

Тогда для всего интервала интегрирования [a;b] формула Симпсона выглядит следующим образом:

(1.4.4-3)

при

Схема алгоритма метода Симпсона приведена на рис. 1.4.4-2.

Рис. 1.4.4-2. Схема алгоритма интегрирования по методу Симпсона с использованием

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 10010 — | 7768 — или читать все.

Метод левых прямоугольников

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x=a; x1=a+h; x2=a+2Ч h. xn-1=a+ (n-1) Ч h; xn=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f (x) в узлах, обозначим их y, y1,y2. yn. Cталобыть, y=f (a), y1=f (x1),y2=f (x2). yn=f (b). Числа y, y1,y2. yn являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x, x1,x2. xn. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Формула левых прямоугольников:

Метод средних прямоугольников

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x=a; x1=a+h; x2=a+2Ч h. xn-1=a+ (n-1) Ч h; xn=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f (x) в узлах, обозначим их y, y1,y2. yn. Cталобыть, y=f (a), y1=f (x1),y2=f (x2). yn=f (b). Числа y, y1,y2. yn являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x, x1,x2. xn. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Читайте также:  Dexp rd visor отзывы

Формула средних прямоугольников

Метод правых прямоугольников

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x=a; x1=a+h; x2=a+2Ч h. xn-1=a+ (n-1) Ч h; xn=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f (x) в узлах, обозначим их y, y1,y2. yn. Cталобыть, y=f (a), y1=f (x1),y2=f (x2). yn=f (b). Числа y, y1,y2. yn являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x, x1,x2. xn. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Формула правых прямоугольников

Метод Симпсона

Геометрически иллюстрация формулы Симпсона состоит в том, что на каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой дугой графика квадратного трехчлена.

Разобьем отрезок интегрирования [a; b] на 2Ч n равных частей длины . Обозначим точки разбиения x=a; x1=x+h. xi=x+iЧ h. x2n=b. Значения функции f в точках xi обозначим yi, т.е. yi=f (xi). Тогда согласно методу Симпсона

Метод трапеций

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x=a; x1=a+h; x2=a+2Ч h. xn-1=a+ (n-1) Ч h; xn=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f (x) в узлах, обозначим их y, y1,y2. yn. Cталобыть, y=f (a), y1=f (x1),y2=f (x2). yn=f (b). Числа y, y1,y2. yn являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x, x1,x2. xn

Формула означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из n трапеций (рис.5); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.

Все методы прямоугольников выполнены в одной таблице MS Excel.

Рис.5. Интегрирование методом прямоугольников в MS Excel

Рис.6. Формулы, использованные для метода прямоугольников в MS Excel

В ячейку A5 и B5 заносятся соответственно нижняя и верхняя границы интегрирования.

В C5 заносится шаг, как нам известно, чем меньше шаг, тем точнее будет результат. В ячейку A8 вносится нижняя границ, т.е. то что находится в A5. В ячейках ниже заносятся результат сложения предыдущего значения с шагом h, например, в A9 = A8+C5; A10 = A9 + C5 и так далее, пока не результат не будет равен верхней границе.

Читайте также:  Как поехать в москву первый раз

Блок ячеек B8-B27 вычисляет среднее арифметическое двух чисел, находящихся левее. Таким образом находятся значения x для метода средних прямоугольников. Например, в В8 = (A8+A9)/2, B9 = (A9+A10)/2 и так далее.

В следующем блоке C8-C27 находятся значения функций для соответствующих x из B8-B27, так как наша формула выглядит следующим образом:

то и значения ячеек заданы соответствующие, например C8= ((B8+B8) ( (B8+B8)+5*B8+1 ) ), С9= ( (B9+B9) / ( (B9+B9)+5*B9+1 ) ) и так далее.

В ячейку D8 вписывается конечное значение интеграла, вычисленное методом средних прямоугольников. Находится оно как произведение суммы блока C8:C27 и шага C5, т.е. D8= СУММ(C8:C27)*C5.

В ячейки Е8:E28 заносятся соответствующие значения функции при xi из A8:A28. E8= ( (A8+A8) / ( (A8+A8)+5*A8+1 ) ), E9= ( (A9+A9) / ( (A9+A9)+5*A9+1 ) ) и так далее.

В F8 заносится значение интеграла функции, вычисленное методом левых прямоугольников. Оно находится как произведение шага и суммы всех значений от функции, кроме верхней границы, так как метод левых не учитывает крайнее верхнее значение. Таким образом, F8=СУММ(E8:E27)*C5

В E8 наоборот, вычисляется значение интеграла методом правых прямоугольников, и не учитывается крайняя нижняя граница. E8= СУММ(E9:E28)*C5.

Далее продемонстрируем выполнение метода прямоугольников в MathCAD.

Здесь на рисунке также описаны все три метода

Рис.7. Интегрирование методом прямоугольников в MathCAD

Итак, в f(x) заносится исходная подынтегральная функция, без указания границ интегрирования, в переменные-поля a и b заносятся соответственно верхняя и нижняя границы, в поле n указывается число шагов. h — вычисляется как размер одного шага, и далее для сравнительного анализа предоставляется значение функции вычисленное самим MathCAD’ом.

Функция I1 вычисляет значение левых прямоугольников. В качестве параметров функции pr_l передается соответственно верхняя граница, нижняя граница, число шагов, размер шага, и собственно подынтегральная функция. Осуществляется сложение всех значений функций в левых частях, затем полученная сумма умножается на длину одного шага.

Функция I2 вычисляет значение правых прямоугольников. В качестве параметров функция pr_p принимает такие же, как и функция pr_l. И далее точно так же находится сумма всех значений, но уже правых частей, то есть значение нижней границы не будет иметь значения. После этого процедура повторяется аналогично предыдущей, то есть сумма умножается на длину шага.

Функция I3 выполняет вычисление значения функции для средних прямоугольников. В качестве параметров функция pr_s принимает такие же переменные, как и предыдущие две функции, однако внутри самой функции она находит середину этих значений прямоугольника, и находит значение подынтегральной функции в этой точке. Далее, как и прежде, складываются все значения функций и умножаются на длину шага.

Далее продемонстрируем работу программы в C++. Приведем листинг исходного кода программы.

using namespace std;

double InFunction(double x) //Подынтегральная функция

return ((x*x) / ((x*x) + (5*x) + 1));

double CalcIntegralLeft(double a, double b, double h)

Ссылка на основную публикацию
Чем мобильное приложение лучше сайта
Согласно последним данным, ежегодный прирост мобильной экономики составляет 10%, и уже около 20% всех продаж через ПК осуществляются после клика...
Футбольный менеджер без интернета
Да, уже четыре года назад Испания выиграла Евро 2012. С того времени много воды утекло и теперь у других команд...
Футбольный менеджер с реальными командами
Бесплатная онлайн игра. Только в нашем футбольном менеджере игры проходят в реальном времени и можно менять тактику непосредственно во время...
Чем можно заменить майл агент
Альтернативы Mail.Ru Агент Обзоры и новости о Mail.Ru Агент 2015. Mail.Ru Агент уступит место ICQ Оба популярных российских мессенджера Mail.ru...
Adblock detector